学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为________．【解析】方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<.【答案】2．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．【解析】∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.【答案】3．动圆x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0的半径的取值范围是____________．【解析】圆的半径r＝＝＝≥.【答案】[，＋∞)4．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.【答案】25．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为________．【解析】圆(x－2)2＋y2＝9，圆心C(2,0)，半径为3.AB⊥CP，kCP＝＝1，∴kAB＝－1，∴直线AB的方程为y－1＝－1(x－3)，即x＋y－4＝0.【答案】x＋y－4＝06．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________．【解析】直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，所以圆到直线AB的最小距离为－1，S△ABC＝×AB×＝×2×＝3－.【答案】3－7．(2016·无锡高一检测)若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0和直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＋E的值为__________.【导学号：60420083】【解析】∵l1，l2过圆心，∴∴∴D＋E＝4.【答案】48．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．【解析】圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋≤，ab的取值范围是.【答案】二、解答题9．设A(－c,0)，B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹．【解】设动点P的坐标为(x，y)，由＝a(a>0)，得＝a2，化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋(1－a2)c2＋(1－a2)·y2＝0.当a＝1时，方程化为x＝0；当a≠1时，方程化为2＋y2＝2.所以当a＝1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．10．(2016·常州高一检测)已知过点A(0,1)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且OM·ON＝12，求k的值．【解】(1)∵直线l过点A(0,1)且方向向量a＝(1，k)，∴直线l的方程为y＝kx＋1.由<1，得0，解得0≤k2<，而此时圆的半径r＝＝.要使圆的面积最大，只需r最大，即当k＝0时，r取得最大值为1，此时直线方程为y＝－x＋2，由倾斜角与斜率的关系知，k＝tanα＝－1，又因为0°≤α<180°，所以α＝135°.【答案】135°3．若光线从点A(1,1)出发，则经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(x－7)2＝4的最短路程等于________．【解析】∵A(1,1)关于y轴对称点为A′(－1,1)，∴所求的最短路程为A′C－2，A′C＝＝6，∴所求的最短路程为6－2.【答案】6－24．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．【解】(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，由二次函数的图象解得－
