第3讲平面向量1．(2016·课标全国丙)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC等于()A．30°B．45°C．60°D．120°答案A解析 |BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°.2．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4C.D．－答案B解析 n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.3．(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.答案B解析如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝DE＋EF＝DE＋DE＝DE＝AC，所以AF＝AB＋AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB＝AC2－AB2－AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝－－×1×1×＝.故选B.4．(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．答案解析由已知可得：≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成立．∴≥|a＋b|成立．∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)(2016·课标全国乙)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC答案(1)(2)A解析(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.(2) BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1(1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO＝λAB＋μBC，则λ＋μ等于()A．1B.C.D.(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF等于()A.AB－ADB.AB＋ADC.AB＋DAD.AB－AD答案(1)D(2)D解析(1) AD＝AB＋BD＝AB＋BC，∴2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.故λ＋μ＝＋＝.(2)在△CEF中，有EF＝EC＋CF.因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF＝CB.所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD，故选D.热点二平面向量的数量积1．数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.2．三个结论(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．(2)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.答案(1)22(2)C解析(1)由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以(AD＋AB)·(AD－AB)＝2，即AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.(2)b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1，所以|b|＝1，|a|＝2.由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2，故a·b＝－.故cos〈a，b〉＝＝＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故选C.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，...
