河南省滑县教师进修学校申治国的文章之《透视关于正方体的高考常见题型》正方体是常见的也是重要的几何体，依托正方体为载体，可以设计很多对考生既觉得熟悉又有点觉得陌生的高考试题，下面，对在高考中曾经出现过的相关高考题型做以整理，加以透视．一、展开图类题型这类问题渗透了平面图形与空间图形的对应性，备考前应该在课下多动手作模型，多观察，培养好自己的空间想象能力，进而达到考试时不操作也一样可以想象出来．例１（01年北京春季高考试题）图1是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是()．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④例2（02年上海春季高考试题）图2表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对．透视：上面两个高考题给出的正方体的展开图是不同的，深入思考，不难发现正方体共有三大类11种不同情形的展开图．第一类：有四个面在一条线上，有6种情形，如下所示：(1)(2)(3)(4)(5)(6)第二类：恰好最多有三个面在一条线上，有四种情形，如下所示：第三类：最多有两个面在一条直线上，只有一种情形，如图11所示．易知，例１选Ｃ，例２填３．二、截面类题型例３（03年全国卷理科试题）下列五个正方体图形（指（１）至（５））中，l是正方体的一条对角线，点,,MNP分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是．(写出所有符合要求的图形序号)透视这类问题，一般直观判断加上严格推证便可顺利解决．图(1)(7)(8)(9)(10)(11)MNPl1（）MNPl(2)MNPl(3)MNPl(4)MNPl(5)QNPlRM(6)NPlM(7)NPlM(8)本身就是截面，易知符合要求；对于图(2)，如图(6)，可以考虑截面NQR，,QR也是棱的中点，它与直线l是垂直的，而过一点直线的垂面只有一个，截面NQR与三角形NMP不共面，故(2)不符合；图(3)可以仿图(2)进行思考，图(3)可补成截面形式，如图(7)；图(4)和图(5)则可补成相同的截面，如图(8)．由图可知，图(3)不符合，图(4)和图(5)符合．如果借助解决立体几何问题的“新武器”空间直角坐标系，则问题更容易得到解决．例如对图(2)的判断，构造图３，设正方体的棱长是１，则各点的坐标分别是1(0,0,1),(1,1,0),(,0,0),2ABM1(1,1,),2N1(0,,0)2P，故(1,1,1)AB�，11(,1,)22MN�，此时，由11(1,1,1)(,1,)1022ABMN�，可知，直线AB与直线MN不垂直，则直线AB一定不垂直平面MNP，否则，直线AB与直线MN应该垂直．其它可做类似的判断．三、射影类题型例４（00年全国新课程卷）如图４，E、F分别为正方体的面11AADD、面11BBCC的中心，则四边形EBFD1在该正方体的面上的射影可能是_______(要求：把可能的图的序号都填上)．透视：只需首先找出四边形的顶点在各面的射影，可知②③符合要求．四、概念类题型例５（02年北京高考试题）设命题甲：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的（）．A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件透视：本题主要考查对正方体有关概念的掌握．如图５，先构造正方体ABCD—A1B1C1D1，可知平面ACB1与对角面BB1D1D垂直；在对角面BB1D1D中，EF分别在B1D1和BD上，且1//EFBB，直四棱柱ABCF—A1B1C1E中，平面ACB1与对角面BB1EF垂直，但直四棱柱ABCF—A1B1C1E不是正方体．故选C．这里体现了构造思想的应用．五、计数类题型例６（02年全国高考卷）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）．A.8种B.12种C.16种D.20种透视：正方体的６个面不相邻则相对，先选对面有３种方法，每种情形又可以从剩下的４个面中任选一面作为第３面，故有3×4=12种选法．例７（04年湖南高考试题）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）．A．56B．52C．48D．40透视：由分类计数原理，以两棱为直角边的直角三角形有３×８＝24个（每个顶点处有３个）；以一条棱和一条面对角线为直角边的直角三角形有２×12＝24个（每条棱有２个符合条件的三角形）...
