河南省高三数学滑县教师进修学校高三数学文章之透视关于正方体的高考常见题型知识点分析VIP专享VIP免费

河南省滑县教师进修学校申治国的文章之《透视关于正方体的高考常见题型》正方体是常见的也是重要的几何体，依托正方体为载体，可以设计很多对考生既觉得熟悉又有点觉得陌生的高考试题，下面，对在高考中曾经出现过的相关高考题型做以整理，加以透视．一、展开图类题型这类问题渗透了平面图形与空间图形的对应性，备考前应该在课下多动手作模型，多观察，培养好自己的空间想象能力，进而达到考试时不操作也一样可以想象出来．例１（01年北京春季高考试题）图1是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是()．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④例2（02年上海春季高考试题）图2表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对．透视：上面两个高考题给出的正方体的展开图是不同的，深入思考，不难发现正方体共有三大类11种不同情形的展开图．第一类：有四个面在一条线上，有6种情形，如下所示：(1)(2)(3)(4)(5)(6)第二类：恰好最多有三个面在一条线上，有四种情形，如下所示：第三类：最多有两个面在一条直线上，只有一种情形，如图11所示．易知，例１选Ｃ，例２填３．二、截面类题型例３（03年全国卷理科试题）下列五个正方体图形（指（１）至（５））中，l是正方体的一条对角线，点,,MNP分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是．(写出所有符合要求的图形序号)透视这类问题，一般直观判断加上严格推证便可顺利解决．图(1)(7)(8)(9)(10)(11)MNPl1（）MNPl(2)MNPl(3)MNPl(4)MNPl(5)QNPlRM(6)NPlM(7)NPlM(8)本身就是截面，易知符合要求；对于图(2)，如图(6)，可以考虑截面NQR，,QR也是棱的中点，它与直线l是垂直的，而过一点直线的垂面只有一个，截面NQR与三角形NMP不共面，故(2)不符合；图(3)可以仿图(2)进行思考，图(3)可补成截面形式，如图(7)；图(4)和图(5)则可补成相同的截面，如图(8)．由图可知，图(3)不符合，图(4)和图(5)符合．如果借助解决立体几何问题的“新武器”空间直角坐标系，则问题更容易得到解决．例如对图(2)的判断，构造图３，设正方体的棱长是１，则各点的坐标分别是1(0,0,1),(1,1,0),(,0,0),2ABM1(1,1,),2N1(0,,0)2P，故(1,1,1)AB�，11(,1,)22MN�，此时，由11(1,1,1)(,1,)1022ABMN�，可知，直线AB与直线MN不垂直，则直线AB一定不垂直平面MNP，否则，直线AB与直线MN应该垂直．其它可做类似的判断．三、射影类题型例４（00年全国新课程卷）如图４，E、F分别为正方体的面11AADD、面11BBCC的中心，则四边形EBFD1在该正方体的面上的射影可能是_______(要求：把可能的图的序号都填上)．透视：只需首先找出四边形的顶点在各面的射影，可知②③符合要求．四、概念类题型例５（02年北京高考试题）设命题甲：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD—A1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的（）．A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件透视：本题主要考查对正方体有关概念的掌握．如图５，先构造正方体ABCD—A1B1C1D1，可知平面ACB1与对角面BB1D1D垂直；在对角面BB1D1D中，EF分别在B1D1和BD上，且1//EFBB，直四棱柱ABCF—A1B1C1E中，平面ACB1与对角面BB1EF垂直，但直四棱柱ABCF—A1B1C1E不是正方体．故选C．这里体现了构造思想的应用．五、计数类题型例６（02年全国高考卷）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）．A.8种B.12种C.16种D.20种透视：正方体的６个面不相邻则相对，先选对面有３种方法，每种情形又可以从剩下的４个面中任选一面作为第３面，故有3×4=12种选法．例７（04年湖南高考试题）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）．A．56B．52C．48D．40透视：由分类计数原理，以两棱为直角边的直角三角形有３×８＝24个（每个顶点处有３个）；以一条棱和一条面对角线为直角边的直角三角形有２×12＝24个（每条棱有２个符合条件的三角形）...