16概率与统计的综合应用1.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是().A.45B.50C.55D.60解析▶由频率分布直方图知,低于60分的频率为(0.010+0.005)×20=0.3,∴该班学生人数n=150.3=50,故选B.答案▶B2.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3.根据样本的频率分布估计,数据落在[27.5,43.5]内的概率是.解析▶由条件可知,落在[27.5,43.5]内的数据有11+12+7+3=33(个),故所求概率是3366=12.答案▶123.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.解析▶20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393,其频率为520=0.25,以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.答案▶0.254.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为.解析▶依题意,设题中被污损的数字为x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)≤0,解得x≥7,即此时x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P=310=0.3.答案▶0.3能力1▶概率与随机抽样的交汇问题【例1】已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表:x人数ABCyA144010Ba36bC28834若抽取学生n人,成绩分为A(优秀),B(良好),C(及格)三个等级,设x与y分别表示数学成绩与物理成绩,例如:表中物理成绩为A等级的共有14+40+10=64(人),数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人.已知x与y均为A等级的概率是0.07.(1)设在该样本中,数学成绩的优秀率是30%,求a,b的值;(2)已知a≥7,b≥6,求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率.解析▶(1)由题意知14n=0.07,解得n=200,∴14+a+28200×100%=30%,解得a=18,易知a+b=30,∴b=12.(2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2.又a+b=30且a≥7,b≥6,则(a,b)的所有可能结果为(7,23),(8,22),(9,21),…,(24,6),共18种,而a>b+2的可能结果为(17,13),(18,12),…,(24,6),共8种,则所求概率P=818=49.求解古典概型与抽样方法交汇问题的思路(1)依据题目中抽样方法的信息,提炼需要的信息.(2)进行统计与古典概型概率的正确计算.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费(元)0.85a1.251.5a1.752aaaa设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费比基本保费高出60%的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析▶(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件A发生即为当且仅当一年内出险次数大于3,故P(A)=0.1+0.05=0.15.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(B)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.又P(AB)=P(A),故P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)=0.150.55=311.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.能力2▶概率与频率分布直方图的综合应用【例2】PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标,为了了解某市空气质量情况,从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据,其频率分布直方图如图所示.现...
