课时分层作业(九)双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．[解析]由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.[答案]x2－y2＝12．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________．[解析]e＝＝，当＝时，e＝；当＝时，e＝.[答案]或3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________.【导学号：71392085】[解析]方程可化为y2－＝1.由条件知2＝2×2，解得m＝－.[答案]－4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析]由2a＋2c＝4b，得a＋c＝2b＝2，即a2＋2ac＋c2＝4c2－4a2，得5a2＋2ac－3c2＝0，(5a－3c)·(a＋c)＝0，即5a＝3c，e＝＝.[答案]5．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析]双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是－＝1.[答案]－＝16．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．[解析]由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又 a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－，即1－＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.[答案]x±y＝07．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于________．[解析]双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.[答案]48．y＝kx＋2与双曲线－＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________.【导学号：71392086】[解析]由消去y得(1－4k2)x2－16kx－25＝0，∴∴－0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|的长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．图232[解析]连接AF1(图略)， |F1F2|＝2c，且△AF2B为等边三角形，又|OF1|＝|OA|＝|OF2|，∴△AF1F2为直角三角形，又 ∠AF2F1＝×60°＝30°，∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.由双曲线的定义知c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1.[答案]＋12．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________．[解析]由直线方程x＝a和渐近线方程y＝x联立解得A(a，b)．由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O，可得c＝4，即右焦点F(4,0)．由该圆过A点，可得|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2，所以8a＝16，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4...
