考点37双曲线【考纲要求】（1）了解双曲线的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；（3）了解双曲线的简单应用；（4）理解数形结合的思想．【命题规律】双曲线是历年高考命题的重点热点，多与直线、圆、椭圆、抛物线、平面向量等综合命题尤以考查双曲线的离心率与渐近线为最常见，常以选择题、填空题的形式呈现，较少考查直线与双曲线的位置关系，在解答题不考双曲线．预计2018年高考对双曲线的考查会以双曲线的定义、标准方程、几何性质为主，在客观题中进行考查，难度中等偏低．【典型高考试题变式】（一）双曲线的定义【例1】【2015新课标Ⅰ】已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，∴的周长为＝．由于是定值，要使的周长最小，则最小，即共线， ，，∴直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以点的纵坐标为，∴＋．【方法技巧归纳】双曲线定义的主要应用方面：（1）判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进行根据要求可求出双曲线方程；（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立与的联系．【变式1】【变为利用定义求距离】已知双曲线上有一点到右焦点的距离为18，则点到左焦点的距离是（）A．8B．28C．12D．8或28【答案】D【解析】根据双曲线的定义可知点到两焦点的距离的差的绝对值为，即又则，故选D．【变式2】【变为利用余弦定理结合定义处理焦点三角形】已知为双曲线右支上一点，分别为双曲线左顶点和的右焦点，，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C（二）双曲线的标准方程【例2】（1）【2017天津卷】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，且，结合可解得，所以双曲线的方程为，故选B．（2）【2016全国新课标Ⅰ卷】已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是（）A．(–1,3)B．(–1,)C．(0,3)D．(0,)【答案】A【方法技巧归纳】求双曲线标准方程的思路：（1）如果已知双曲线的中心在原点，且确定焦点在轴上或轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程，解出即可求得双曲线的标准方程（求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解）；（2）当焦点的位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程为．【变式1】【变为利用双曲线定义求方程】双曲线离心率为，左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，的平分线为，点关于的对称点为，则双曲线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，得直线是线段的中垂线，则，即，又因为该双曲线的离心率为，所以，双曲线的方程为，故选B．【变式2】【变为根据双曲线的几何性质与平面图形面积求方程】已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（），点在轴上的射影恰好是双曲线的右焦点，过点作双曲线两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为1，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A（三）双曲线的几何性质【例2】（1）【2017新课标Ⅱ卷】若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，即，故选C．（2）【2017全国卷Ⅰ】已知双曲线：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线的一条渐近线交于M、N两点。若，则的离心率为________．【答案】【解析】如图所示，，为双曲线的渐近线上的点，，．因为，所以，到直线的距离，在中，，代入计算得，即．由得，所以．【方法技巧归纳】（1）已知离心率求渐近线方程，即e＝⇒c2＝e2·a2＝a2＋b2⇒e2＝1＋，即得渐近线方程为y＝±x；（2）已知渐近线方程，若焦点位置不明确要分k＝或k＝两种情况讨论．已知渐近线方程为，可由，得，从而求得离心率；（3...
