课时分层作业(二十七)二倍角的三角函数(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°＝()A.B．1C.D.C[∵75°＋15°＝90°，∴cos75°＝sin15°，∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋×＝.]2．若cosxcosy＋sinxsiny＝，则cos(2x－2y)＝()A.B．－C.D．－B[cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝，∴cos(2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－.]3．设cos2θ＝，则cos4θ＋sin4θ＝()A.B.C.D.C[cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝＋cos22θ＝＋×2＝.]4．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝()A.B.C.D.A[由tanθ＋＝＋＝＝4，得sinθcosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝2×＝.]5．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα＝()A.B．1C.D.D[∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝.又α∈，∴cosα＝，sinα＝.∴tanα＝.]二、填空题6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________.[∵tan＝tan＝＝＝，∴tan(α＋β)＝＝＝.]7．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．[∵α为锐角，∴α＋∈，又∵cos＝，∴sin＝，∴sin＝2sincos＝，cos＝2cos2－1＝，∴sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.]18．若f(x)＝2tanx－，则f＝________.8[f(x)＝2tanx－＝2＋2＝2＝＝＝.∴f＝＝8.]三、解答题9．已知sinα＋cosα＝，0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解]∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－且sinαcosα＝－<0.∵0<α<π，sinα>0，∴cosα<0.∴sinα－cosα>0.∴sinα－cosα＝＝＝.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝×＝－.tan2α＝＝.10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f＝－，α∈，求sin的值．[解](1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f(x)＝－sin2x(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，从而cosα＝－，所以有sin＝sinαcos＋cosαsin＝.[等级过关练]1．若＝，则tan2α＝()A.B.C.D.D[由＝得，tanα＝－3.∴tan2α＝＝＝.]2．函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为()A.B．1C.D.A[y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1，设t＝sinx(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，∴当t＝时，函数取得最大值.]3．若sin＝，则cos＝________.－[∵＋＝，∴sin＝cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝________.－[由三角函数的定义可知tanθ＝2，∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.]5．在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP·OQ＝－.2(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．[解](1)因为OP·OQ＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－，即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，所以点P，点Q，又点P在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝.同理sinβ＝－，cosβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.3
