3.1综合法课时过关·能力提升1.“a>1”是“a¿√a”的()A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件解析:a>1⇒a¿√a,反之a¿√a⇒a>1.答案:B2.若f(x)为奇函数,f(1)¿12,f(x+2)=f(x)+(2),则f(5)等于()A.0B.1C.52D.5解析:由f(x)是奇函数与f(1)¿12,知f(-1)=−12.又f(-1+2)=f(-1)+f(2)=f(1),所以f(2)=f(1)-f(-1)=1,所以f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2)¿52.答案:C13.设函数f(x)=lnx,若a,b是两个不相等的正数,且p=f(√ab),q=f(a+b2),r=12f(a2+b22),V=12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是()A.p=qln(√ab)=p,V¿12[f(a)+f(b)]=12¿a+lnb)=p,r¿12f(a2+b22)=12ln(a2+b22)>ln√ab>q.得p=vq.故p=v3sinxB.2x<3sinxC.2x=3sinxD.与x的取值有关解析:令f(x)=2x-3sinx,则f'(x)=2-3cosx.当cosx¿23时,f'(x)>0;当cosx¿23时,f'(x)=0;当cosx¿23时,f'(x)<0.即当00.故f(x)的值与x取值有关,即2x与sinx的大小关系与x取值有关.故选D.3答案:D6.已知f(x)是连续的偶函数,且当x>0时f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(x+3x+4)的所有x之和为()A.-3B.3C.-8D.8解析:因为f(x)是连续的偶函数,且当x>0时f(x)是单调函数,由偶函数的性质可知,若f(x)=f(x+3x+4),只有两种情况:①x¿x+3x+4;②x+x+3x+4=0.由①知x2+3x-3=0,故其两根之和为-3;由②知x2+5x+3=0,故其两根之和为-5.因此满足条件的所有x之和为-8.答案:C7.已知实数a≠0,且函数f(x)=a(x2+1)−(2x+1a)有最小值−1,则a=¿¿解析:f(x)=ax2-2x+a−1a有最小值,则a>0,对称轴的方程为x¿1a,则f(x)min=f(1a)=−1,即f(1a)=a·(1a)2−2·1a+a−1a=−1,即a−2a=−1,则a2+a-2=0.因为a>0,解得a=1.答案:148.★函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+2n的最小值为¿解析:y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A(-2,-1).∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴2m+n=1.∵mn>0,∴m>0,n>0.∴2m+n=1≥2√2mn,当且仅当2m=n¿12,即m¿14,n=12时取等号.∴mn≤18.∴1m+2n=2m+nmn=1mn≥8.答案:89.(1)已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc;(2)已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:4a+1b≥9.证明(1)∵a,b,c是正数,∴b2+c2≥2bc,∴a(b2+c2)≥2abc.同理b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc.∵a,b,c不全相等,∴b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,a2+b2≥2ab不能同时取到等号,∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.(2)∵a>0,b>0,a+b=1,5∴4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba+ab≥5+2√4ba·ab=9,当且仅当4ba=ab,且a+b=1时取等号.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.求证:a2-b2c2=sin(A-B)sinC.证明由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccosA,则a2-b2c2=c2-2bccosAc2=c-2bcosAc.又由正弦定理,得c-2bcosAc=sinC-2sinBcosAsinC¿sinC-[sin(B+A)+sin(B-A)]sinC¿sinC-[sinC-sin(A-B)]sinC=sin(A-B)sinC.所以a2-b2c2=sin(A-B)sinC.11.★如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.6(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.(1)证明因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,所以DC⊥平面PAC.(2)证明因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.因为PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.又因为AB⫋平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊈平面CEF,EF⫋平面CEF,所以PA∥平面CEF.78
