【步步高】2016高考数学大一轮复习9.6双曲线试题理苏教版一、填空题1．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.解析 b＝，∴c＝，∴＝＝2，∴a＝1.答案12．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝b，则由题意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.答案3．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 右焦点为(3,0)，∴c＝3，又 c2＝a2＋b2＝a2＋5＝9，∴a2＝4，a＝2，∴e＝＝.答案4．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则解得mn＝2，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12，∴m＋n＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2.答案25．设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.解析 PF1⊥x轴，∴xP＝－c，代入－＝1，得yp＝±， P在y＝x上，∴yp＝－，∴3b＝c，∴9b2＝c2，∴9(c2－a2)＝c2，∴＝，∴＝，∴e＝.答案6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析由已知得解之得∴双曲线方程为－＝1.答案－＝17．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析如图所示，不妨设F为右焦点，过F作FP垂直于一条渐近线，垂足为P，过P作PM⊥OF于M.由已知得M为OF的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c,0)，渐近线方程为bx－ay＝0，∴|PF|＝＝b，∴b2＝·c，即2b2＝c2＝a2＋b2，∴a2＝b2，∴e＝＝＝.答案8．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积是________．解析由可解得又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.答案249.如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.答案x2－＝110．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，又OA＝a，OF＝c，∴＝＝cos60°＝，∴＝2.答案2二、解答题11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若AP＝PB，求△AOB的面积．解(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由AP＝PB得点P的坐标为，将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1，设∠AOB＝2θ，则tanθ＝，从而sin2θ＝，又|OA|＝m，|OB|＝n，∴S△AOB＝|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2.12．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知，得c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2，故cos∠F1PF2＝＝＝.13．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解 e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.又 双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线...
