课时跟踪检测（十五）向量的加法一、基本能力达标1．下列命题：①在△ABC中，必有＋＋＝0；②若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B①正确．对于②，当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．对于③，应该为|a＋b|≤|a|＋|b|.2．若向量a表示向东走1km，向量b表示向南走1km，则向量a＋b表示()A．向东南走kmB．向东南走2kmC．向东北走kmD．向东北走2km解析：选A由向量加法的平行四边形法则，易得a＋b表示向东南走km.3.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝()A．0B．C．D．解析：选D＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.4．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的结论是()A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D＋＝，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．6.如图，在平行四边形ABCD中，(1)＋＝________；(2)＋＋＝________；(3)＋＋＝________；(4)＋＋＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为.(2)＋＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＝.(4)＋＋＝＋＋＝＋＝0.答案：(1)(2)(3)(4)07．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.答案：28.如图，菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠ABC＝60°，＝a，＝b，则|a＋b|＝________.解析：因为四边形ABCD为菱形，所以||＝||＝1.连接AC(图略)，又∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形．因为＋＝，所以|＋|＝||＝1，即|a＋b|＝1.答案：19.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：①＋＋；②＋＋＋.解：①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.10．在长江某渡口上，江水以2km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图．在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2.||＝|v2|＝2，∴||＝|v|＝＝＝4.tanθ＝＝＝.∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4km/h，方向为东偏北60°.二、综合能力提升1.如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是()A．＋＝B．＋＋＝0C．,＋＝D．＋＝解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝()A．B．C．D．解析：选C设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则OA＋BC＋AB＋DO＝()A．CDB．DCC．DAD．DO解析：选BOA＋BC＋AB＋DO＝DO＋OA＋AB＋BC＝DA＋AB＋BC＝DB―→＋BC＝DC.4．若在△ABC中，AB＝a，BC＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是()A．正三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形解析：选D由于AB＝|a|＝1，|BC|＝|b|＝1，|AC|＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.5．化简：(＋)＋(＋)＝________.解析：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝.答案：6.如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①＋＝________；②＋＋＝________；③＋＋＝________.解析：①＋＝＋＝.②＋＋＝＋＝＋＝.③＋＋＝＋＋＝.答案：①②③7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.证明：＝＋，＝＋，∴＋＝＋＋＋.∵与大小相等，方向相反，∴＋＝0，故＋＝＋＋0＝＋.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线时|a＋e|最大，最大值是3.
