专题能力训练6导数的简单应用一、选择题1.(2014河南郑州第一次质量预测)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.2.(2014四川雅安三诊)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)3.(2014广东深圳第一次调研)若函数f(x)=x3+x2-ax在区间(1,+∞)上单调递增,且在区间(1,2)上有零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(-∞,3]4.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13B.-15C.10D.155.(2014四川成都三诊改编)设定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f'(x)>,其中f'(x)是f(x)的导函数,则不等式f(x3)
0).(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.答案与解析专题能力训练6导数的简单应用1.A解析:设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y'=x-,得k=x0-=2,解得x0=3.2.D解析:当x<-2时,1-x>0,由图知f'(x)>0;当-20,由图知f'(x)<0;当12时,1-x<0,由图知f'(x)>0.综上可知函数f(x)的极大值为f(-2),极小值为f(2).故选D.3.C解析:∵f'(x)=x2+2x-a,且函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴x2+2x-a≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2+2x,x∈(1,+∞).设g(x)=x2+2x,x∈(1,+∞),则g(x)min=g(1)=3.故a≤3.①又∵函数f(x)在区间(1,2)上有零点,∴f(1)·f(2)<0,即<0.∴0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.9.解:(1)f'(x)=2ax-(x>0),则f'(1)=2a-6.又f(1)=a,所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-a=(2a-6)(x-1).令x=0,得y=6-a.由题可知6-a=3,即a=3.(2)由(1)知f'(x)=(x>0).令f'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则00,∴-x2-3x+c-1≥0在区间[-3,2]上恒成立.令h(x)=-x2-3x+c-1,则解得∴c≥11.故函数g(x)在区间[-3,2]上单调递增时c的取值范围为c≥11.11.解:(1)f'(x)=aex-,当f'(x)>0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上递增;当f'(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上递减.①当00,f(x)在(0,-lna)上递减,在(-lna,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(-lna)=2+b;②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)内的最小值为f(0)=a++b.(2)依题意知f'(2)=ae2-,解得ae2=2或ae2=-(舍去).所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=.故a=,b=.
