课时分层作业(二十二)数量积的坐标表示(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于()A．14B．11C．10D．5B[a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.]2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．8B．6C．4D．2C[依题意得a＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，得3×k－1×(k＋2)＝0，解得k＝1，所以a·b＝2＋2k＝4.]3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()A.B.C．13D.A[∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cosθ＝＝，∴a在b上的射影为|a|cosθ＝×＝.]4．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.B[由于2a＋b＝(4,2)，则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.]5．已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝()A.B．2C．4D.或4D[在Rt△AOB中，AB＝(4，m－2)，若∠OAB为直角时，OA·AB＝0，可得m＝4；若∠AOB为直角时，OA·OB＝0，可得m＝；若∠OBA为直角时，无解．]二、填空题6．已知平面向量a＝(1，)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是________．[1,3][设b＝(x，y)，则|a－b|＝＝1，即点(x，y)在圆(x－1)2＋(y－)2＝1上，则|b|的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b|的取值范围是[1,3]．]7．已知a＝(4,2)，则与a垂直的单位向量b＝________.或[设b＝(x，y)，则由得或]8．已知OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标为________．(3,0)[设P(x,0)，所以AP·BP＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，AP·BP有最小值，此时P(3,0)．]三、解答题9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．[解](1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.10．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,2)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．[解](1)OA·OB＝8，设OA与OB的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴OA在OB上的投影为|OA|cosθ＝4×＝2.(2)AB＝OB－OA＝(－2,2)，BC＝OC－OB＝(1－λ)·OA－(1－λ)OB＝(λ－1)AB，所以A，B，C三点共线．当AB＝BC时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC|2＝(1－λ)2OA2＋2λ(1－λ)OA·OB＋λ2OB2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，∴当λ＝时，|OC|取到最小值，为2.[等级过关练]1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为()A．2B．－C．0D.D[由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos，解得m＝.]2．已知a＝(4,7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝()A．81B．9C.D．9B[因为a－b＝(9,9)，所以|a－b|＝＝9.]3．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．11[以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，设E(1，a)(0≤a≤1)．所以DE·CB＝(1，a)·(1,0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，故DE·DC的最大值为1.]4．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则AB的坐标为________．(－2,5)或(2，－5)[设AB＝(x，y)，由|OA|＝|AB|，得＝.①由OA⊥AB，得5x＋2y＝0②联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.故AB＝(－2,5)或AB＝(2，－5)．]5．已知OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．(1)求使CA·CB取得最小值时的OC；(2)对于(1)中求出的点C，求cos∠ACB.[解](1)因为点C是直线OP上一点，所以向量OC与OP共线，设OC＝tOP，则OC＝(2t，t)．CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，CB＝OB－OC＝(5－2t,1－t)．CA·CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.当t＝2时，CA·CB取得最小值，此时OC＝(4,2)．(2)当OC＝(4,2)时，CA＝(－3,5)，CB＝(1，－1)，所以|CA|＝，|CB|＝，CA·CB＝－8.所以cos∠ACB＝＝－.
