课时分层作业(十一)抛物线的几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5，则该抛物线的方程是________．[解析]设抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，设A(m，－3)．由抛物线定义得5＝AF＝，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9，故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.[答案]y2＝±2x或y2＝±18x2．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB＝4，则焦点到弦AB的距离为________．[解析]由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)2＝4x，∴x＝3，∴直线AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB的距离为2.[答案]23．在抛物线y2＝16x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________．[解析]显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－2)①，由消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，∴y1＋y2＝＝2(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，∴k＝8，代入①得y＝8x－15.[答案]y＝8x－154．已知过抛物线Γ：x＝－的焦点F的直线交抛物线Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝－7，则AB的值为________.【导学号：71392104】[解析]因为x＝－，所以y2＝－2x，所以抛物线Γ的准线方程为x＝，根据抛物线的定义知AF＝－x1，BF＝－x2，所以AB＝AF＋BF＝1－(x1＋x2)＝1－(－7)＝8.[答案]85．直线y＝k(x＋1)与抛物线y2＝8x有两个交点，则实数k的取值范围是________．[解析]联立直线与抛物线方程，得所以ky2－8y＋8k＝0.由题意得解得－＜k＜，且k≠0.所以实数k的取值范围是(－，0)∪(0，)．[答案](－，0)∪(0，)6．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点．若PQ＝QF，则直线PF的方程为________.【导学号：71392105】[解析]抛物线E：y2＝4x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QF＝d. PQ＝QF，∴|PQ|＝|QF|＝d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.[答案]x＋y－1＝0或x－y－1＝07．如图243是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽_________m.图243[解析]建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2m.[答案]28．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．[解析]抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，由抛物线定义知，点P到直线l2的距离等于点P到焦点F的距离，作PA⊥l1垂足为A，则点P到l1，l2的距离之和d＝PA＋PF，当P，A，F三点共线时，d取得最小值，最小值即为点F到直线l1的距离，由点到直线的距离公式得dmin＝＝2.[答案]2二、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程.【导学号：71392106】[解]设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0(舍)或x＝，∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝＝，又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．[解](1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则OC＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[能力提升练]1．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积为________．[解析]由条件，不妨设lOA为y＝x...
