曲边梯形的面积VIP专享VIP免费

11.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程2我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算。情景设计：但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,面积怎么计算呢？这些图形有一个共同的特征：每条边都是直的线段。3曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)一.求曲边梯形的面积x=ax=b4y=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得5AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A26AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A47y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近8分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。下面用“以直代曲”的具体操作过程计算曲边梯形的面积。9（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[n1n1inix每个区间的长度为过各分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21n1n2nknnxOy2xy例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。10（2）近似代替（以直代曲）n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）作和])1n(210[n1n1)n1-i(n1)n1-if(SSSSS22223n1i2n1in1iin21n1n2nknnxOy2xy11（4）取极限1111(1)(2)6nn31S.3S所以2222(1)(21)1236nnnn311111(n1)n(2n1)(1)(2)n66nnS当分割的份数无限增多,即n→∞,△x→0时nlim12区间[0，1]的等分数nS的近似值20.1250000040.2187500080.27343750160.30273450320.31787109640.325561521280.329437262560.331382755120.3323574110240.3328452120480.33308923……nS我们还可以从数值上可以看出这一变化趋势（请见表）13n1n2nknnxy2xynnn2ii1i1i12222311SSf()()nnnn1[12(n1)]niin(过剩近似值)14n1n2nknnxy2xy2222331S[12(n1)]n1(1)(21)1111(1)(2)n663nnnnnn(过剩近似值)15当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)x△来近似表示小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21表示了曲边梯形面积的近似值16小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法（1）分割（2）近似代替（4）取极限n（3）求和17二汽车行驶的路程思考1：汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？18思考2：已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，如何计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程？思考3：能否把求变速直线运动的路程问题，转化为求匀速直线运动的的路程问题？思考4：你能仿照求曲边梯形的面积的方法来解决这个问题吗？19小结：求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求出它在a≤t≤b内的位移s，其操作步骤仍然是：分割→近似代替→求和→取极限.思考5：汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，在数值上与由直线t=0,t=1,v=o和曲线所围成曲边梯形的面积有什么关系？2)(2ttv20小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积和变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程操作步骤是：分割→近似代替→求和→取极限.