课时分层作业(二十一)数量积的定义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝()A．0B．1C．－1D．±1D[∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝±1.]2．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为()A．2B．－2C．4D．－4B[∵|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影为|b|cos120°＝4×cos120°＝4×＝－2.]3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝()A．－B．0C.D．1C[∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－.又a·a＝|a|2＝1，∴a·a＋a·b＝1－＝.]4．在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·BC的值是()A．－25B．25C．－60D．60A[∵|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，∴|AB|2＝|BC|2＋|CA|2，∴△ABC为直角三角形．又cos∠ABC＝，∴AB·BC＝|AB||BC|cos(π－∠ABC)＝13×5×＝－25.]5．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝()A．2B.C.D.C[∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝.]二、填空题6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．1[·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝×＝1.]7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．4[法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.法二：如图，作AB＝BD＝a，BC＝b，则CA＝c.∵a⊥b，∴AB⊥BC.又∵a－b＝BD－BC＝CD，(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，所以△ABC是等腰直角三角形，∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.－8或5[由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解](1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝＝＝.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？[解]∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}．[等级过关练]1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．－8B．8C．－6D．6B[由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.]2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()A.B.C．－D．±D[(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.]3．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为________．[由|a|＝|b|＝|a＋b|，所以|a|2＝|a＋b|2，所以|a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，得a·b＝－|b|2，所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝－|b|2，所以cosθ＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．[设|AB|＝x(x＞0)，则AB·AD＝x，所以AC·BE＝(AD＋AB)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.]5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．[解](1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.∵a·c＝a·b＝b·c＝cos120°＝－，∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
