8.1线性规划一．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分二.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题注意事项：最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．三．可行域的判断方法1.直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．【套路秘籍】---千里之行始于足下【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一截距型【例1】已知变量x，y满足约束条件¿，则z=2x+y的最大值为__________．【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线y=−2x+z的截距最大，即z最大.由x+y−1=0x−y−1=0，解得x=1y=0，即A(1,0).将A(1,0)代入z=2x+y，得z=2×1+0=2，即z=2x+y的最大值为2.故答案为：2.【套路总结】一．线性规划问题的解题方法1.几何法(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．二．代入法(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)求点——联立方程求交点坐标(3)求值——将交点代入目标函数，进行比较，结果最大就是最大值，结果最小就是最小值．三．截距型：形如z=ax+by，求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：y=−abx+zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；【举一反三】1．若变量x,y满足约束条件¿，z=2x−y，则z的最小值为_______．【答案】−3【解析】由约束条件作出可行域，如下图阴影部分ΔABC，由z=2x−y有y=2x−z，令z=0,y=2x是经过原点的直线，将此直线向左上方平移时，当经过B点时，直线y=2x−z的纵截距最大，此时z的值最小，由¿得B(−1,1),求得z=2x−y=−3.2．已知实数x,y满足¿，则z=x−3y+2的最大值为_______.【答案】-4【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立¿，解得A(0,2)，化目标函数z=x−3y+2为y=13x−13z+23，由图可知，当直线y=13x−13z+23过点A(0,2)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为z=0−3×2+2=−4.考向二斜率型【例2】（1）已知不等式组则z＝的最大值与最小值的比值为。（2）已知实数x，y满足¿，则z=x+y+1x的最大值是。（3）在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为。【答案】（1）－（2）2（3）－【解析】（1）如图所示，不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z＝表示平面区域内的点与定点P(－1,0)连线的斜率．由可得故A(2,2)，由可得故B(3，－1)，数形结合知AP的斜率最大，此时z＝最大，故zmax＝；BP的斜率最小，zmin＝－.故z＝的最大值与最小值的比值为－.（2）作出可行域，如图阴影部分（含边界），z=x+y+1x=1+y+1x，其中y+1x表示可行域内的点(x,y)与定点P(0,−1)连线的斜率，由y=lnx得y'=1x，设切点为(x0,y0)，则切线1x0=y0+1x0，解得y0=0，x0=1，即切点为(1,0)，这P点的切线斜率为1，...
