课时分层作业(二十八)指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数D[由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝10xB．y＝lgxC．y＝x10D．y＝10xD[由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝10x的增长速度最快．]3．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2A[由图可知函数在第一象限内是一个增函数，并且增长速度较快，且图象过点(2，4)，(4，16)，因此利用指数函数模型拟合较好．]4．有一组试验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A．y＝logax(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0)D．y＝logax＋b(a＞1)C[通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.]5．四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1，2，3，4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2xD[显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.]二、填空题6．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是________．y＝3x[由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y＝3x的增长速度最快．]7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．y＝x2[当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．]8．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．②③[由t∈[0，3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0＜a＜1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产．]三、解答题9．某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？[解]作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图).观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．10．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？[解]令y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，依题意，得即解得所以甲：y1＝x2－x＋52，令y＝g(x)＝p·qx＋r.又②－①，得p·q2－p·q1＝2，④③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤⑤÷④，得q＝2.将q＝2代入④式，得p＝1.将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，所以乙：y2＝2x＋50.计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；当x＝5时，y1＝72，y2＝82；当x＝6时，y1＝82，y2＝114.可见，乙选择的模型较好．11．今有一组实验数据如下：t23456v...
