确定二次函数的表达式VIP专享VIP免费

2.3求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式一、一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)•求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。•由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。例1已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2）（0，5）三点，求抛物线的解析式解：由题意可得：｛22a+2b+c=1①a+b+c=-2c=5解之得：｛a=5b=-12c=5所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.例2已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的表达式？oxy解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：a=2,b=-3,c=5所以所求二次函数是：y=2x2-3x+5二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).•1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.2.特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2.3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k.4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.解：1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？yox所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）又点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,解得a=-2故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－52.已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。解法1：（利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)由题意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程组得：a=-7b=42c=-59∴二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法2：（利用顶点式） 当x=3时，有最大值4∴顶点坐标为(3,4)设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4 函数图象过点（4，-3）∴a(4-3)2+4=-3∴a=-7∴二次函数的解析式为：y=-7(x-3)2+43.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。解: 二次函数的对称轴为直线x=3∴设二次函数表达式为y=a(x-3)2+k图象过点A(0,5),B(5,0)两点∴5=a(0-3)2+k0=a(5-3)2+k解得：a=1k=-4∴二次函数的表达式:y=(x-3)2-4即y=x2-6x+5小结:已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。交点式y=a(x-x1)(x-x2).x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线就是抛物线的对称轴.221xxx1：已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为 抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）∴又 点（0，1）在图像上，∴a=-1即：∴∴∴解：（交点式） 二次函数图象经过点(3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1) 函数图象过点(1,4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+32：已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便其它解法：（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)∴a+b+c=4①a-b+c=0②9a+3b+c=0③解得：a=-1b=2c=3∴函数的解析式为：y=-x2+2x+3（顶点式）解： 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴(-1+3)/2=1∴点(1,4)为抛物线的顶点可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4 抛物线过点(-1,0)∴0=a(-1-1)2+4得a=-1∴函数的解析式为：y=-(x-1)2+43已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式．(-1,0)(3,0)X=1由题意,得:解:设图象与x轴的交点坐标为(,0),(,0),...