1.2简单多面体1.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C2.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定解析:长方体水槽固定底面一边后倾斜,水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义.答案:A3.如图所示的图形中不是正方体的表面展开图的是()答案:C4.导学号62180007正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条侧棱作截面SAC,如图,则截面的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2解析:△SAC是等腰三角形,且SA=SC=a,底边AC=a,取AC的中点O,连接SO,则SO⊥AC,且SO=a,于是S△SAC=a×a=a2.答案:C5.已知长方体的全面积为11,十二条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()A.2B.C.5D.6解析:设长方体的三条棱长分别为a,b,c,则有则a+b+c=6,两边平方,得a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=36,即a2+b2+c2=25,所以长方体的一条对角线长为=5.答案:C6.下列关于棱锥、棱台的说法:(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形;(2)棱锥的侧面只能是三角形;(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是.答案:(1)(2)(3)7.已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为16,一条侧棱长为2,则它的斜高为.解析:由S底=16知底面边长为4,又侧棱长为2,故斜高h'==2.答案:28.正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm,那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为cm2.解析:正四棱台的中截面是正方形,其边长为×(3+5)=4(cm),由此S截=42=16(cm2).答案:169.一个正三棱柱的底面边长是4,高是6,过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面,求此截面的面积.解:如图所示,正三棱柱ABC-A'B'C',符合题意的截面为△A'BC.在Rt△A'B'B中,∵A'B'=4,BB'=6,∴A'B==2.同理A'C=2.在等腰三角形A'BC中,O为BC的中点,BO=×4=2.∵A'O⊥BC,∴A'O==4.∴S△A'BC=BC·A'O=×4×4=8,∴此截面的面积为8.10.导学号62180008一个棱台的上、下底面积之比为4∶9,若棱台的高是4cm,求截得这个棱台的棱锥的高.解:如图所示,将棱台还原为棱锥,设PO是原棱锥的高,O1O是棱台的高.∵棱台的上、下底面积之比为4∶9,∴它们的底面对应边之比A1B1∶AB=2∶3,∴PA1∶PA=2∶3.∵A1O1∥AO,∴,即.∴PO=12cm,即原棱锥的高是12cm.11.如图所示,正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,∠ASB=40°,点M和N分别是棱SB和SC上的点,求△AMN的周长的最小值.解:沿侧棱SA将正三棱锥S-ABC的侧面展开,得到三棱锥S-ABC的侧面展开图,如图所示,连接AA',当M,N分别为AA'与SB,SC的交点时,△AMN的周长最小.∵SA=SA',∠ASB=∠BSC=∠CSA'=40°,∴∠ASA'=120°.∴∠SAA'=∠SA'A=30°.作SF⊥AA'于点F,∵SA=1,∴AF=A'F=SA=,∴AA'=,即△AMN的周长的最小值为.
