课时跟踪检测（二十六）二倍角公式及其应用一、基本能力达标1．已知cosx＝－，x为第二象限角，那么sin2x＝()A．－B．±C．－D.解析：选C因为cosx＝－，x为第二象限角，所以sinx＝，所以sin2x＝2sinxcosx＝2××＝－，故选C.2．若tanα＝3，则的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：选D＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D.3．已知sin2α＝，则cos2等于()A.B.C.D.解析：选A∵sin2α＝，∴cos2＝＝＝＝.4．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于()A．75°B．45°C．60°D．30°解析：选D因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.故选D.5．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于()A.B.C.D.解析：选D由已知得sin2α＋1－2sin2α＝，所以sin2α＝，而α∈，所以sinα＝，cosα＝.因此，tanα＝.6．(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝________.解析：(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°)＝cos275°－sin275°＝cos150°＝－cos30°＝－.答案：－7．已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝______.解析：由于α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝－＝－.答案：－8．计算sin10°sin30°sin50°sin70°＝________.解析：原式＝cos20°cos40°cos80°＝＝＝＝.答案：9．已知α，β均为锐角，且tanα＝7，cosβ＝，求α＋2β的值．解：∵β为锐角，且cosβ＝，∴sinβ＝.∴tanβ＝，tan2β＝＝＝.∴0<2β<，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝＝＝－1，∴α＋2β＝.10．化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2α·cos2β.解：法一：(从角入手)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.法二：(从次数入手)原式＝·＋·－cos2α·cos2β＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－·cos2α·cos2β＝＋＝.二、综合能力提升1．若＝，则cos的值为()A.B．－C．－D.解析：选A因为＝，所以＝，所以cosα－sinα＝，平方得1－2cosαsinα＝，所以sin2α＝，所以cos＝sin2α＝.2．若f(x)＝2tanx－，则f的值为()A．4B.C．4D．8解析：选D∵f(x)＝2tanx－＝2tanx－＝2tanx＋＝2＝2×＝，∴f＝＝＝8.3．函数y＝2cos2－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：选Ay＝2cos2－1＝cos＝sin2x，为奇函数，最小正周期T＝＝π，故选A.4．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.B.C．0D．－1解析：选C由向量互相垂直，得a·b＝－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.5．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－，又α∈，∴sinα＝，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.答案：6．已知sin＝，则cos2的值是________．解析：∵sin＝，∴cos＝cos2＝1－2sin2＝，∴cos2＝cos＝cos＝－cos＝－.答案：－7．已知sin－2cos＝0.(1)求tanx的值；(2)求的值．解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0，∴tan＝2，∴tanx＝＝＝－.(2)由(1)，知tanx＝－，∴＝＝＝＝×＝×＝.8．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.(1)求f(π)的值；(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.(2)因为f＝2cos＝2cos＝－2sinα＝，所以sinα＝－.又α∈，故cosα＝＝＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.所以f(2α)＝2cos＝2cos2αcos＋2sin2αsin＝2××＋2××＝.
