课时分层作业(二十五)对数的运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．若ab＞0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lg＝lga－lgb；③lg＝lg；④lg(ab)＝.其中一定成立的等式的序号是()A．①②③④B．①②C．③④D．③D[∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg＝×2lg＝lg，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.]2．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC.c＝adD．d＝a＋cB[由已知，得a＝，d＝，所以a＝cd.]3．若lgx－lgy＝t，则lg－lg＝()A．3tB．tC．tD．A[lg－lg＝3lg－3lg＝3lg＝3(lgx－lgy)＝3t.]4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A．1033B．1053C．1073D．1093D[由题意，lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，故与最接近的是1093.故选D.]5．3lg2－2lg3＝()A．0B．lg2C．lg3D．lg6A[令M＝3lg2，N＝2lg3，则lgM＝lg2lg3，lgN＝lg3lg2，∴lgM＝lgN，∴M＝N，∴3lg2－2lg3＝M－N＝0.]二、填空题6．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示)m＋2n[loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.]7．计算＋(27)＝________．12[由指数和对数的运算法则，得＋(27)＝＋(33)＝＋32＝＋9＝3＋9＝12.]8．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则＝________．4[因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.]三、解答题9．求值：lg500＋lg－lg64＋50(lg2＋lg5)2.[解]原式＝lg5＋lg102＋lg23－lg5－lg26＋50＝2＋3lg2－3lg2＋50＝52.10．已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.[解]法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.法二：∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝＝＝＝＝＝.11．已知2x＝9，2y＝，则x＋2y的值为()A．6B．8C．1D．log48A[由2x＝9，得x＝log29，由2y＝，得y＝log2，∴x＋2y＝log29＋2log2＝2log23＋2log2＝2(log23＋log2)＝2log2(3×)＝2log28＝2×3＝6.]12．lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·(lg)2＝()A．2B．4C．6D．8B[由已知得，lga＋lgb＝2，即lg(ab)＝2，lga·lgb＝.所以lg(ab)·(lg)2＝2(lga－lgb)2＝2[(lga＋lgb)2－4lgalgb]＝2(22－4×)＝2×2＝4.]13．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝()A．B．10C．20D．100A[a＝log2m，b＝log5m，代入已知得logm2＋logm5＝2，即logm10＝2，所以m＝.]14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x358915lgx2a－ba＋c3－3a－3c4a－2b3a－b＋c＋1请将错误的一个改正为lg________＝________．153a－b＋c[由lg9＝2lg3，对照表格可知3，9的对数值没错，lg8＝3lg2，所以lg8＝3－3a－3c等价于lg2＝1－a－c，比较lg5＝a＋c，由lg2＋lg5＝1可知lg5，lg8的值没错，而lg15＝lg3＋lg5＝3a－b＋c，所以表格中lg15错误，应改为：lg15＝3a－b＋c.]15．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解]原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0(x＞0).设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝.∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·＝(lga＋lgb)·＝(lga＋lgb)·＝2×＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
