上海市封浜中学高三数学第二轮专题复习第2讲学习能力型问题学习新的数学知识的能力指的是通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则和方法等），并能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力，这里我们简称为学习能力．学习能力型问题常见的有以下几种类型：1．概念学习型；2．定理（公式）学习型；3．方法学习型．我们还是从各地高考数学试题中的学习能力型问题开始．一、概念学习型例1．（北京2004）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．解析：这里给出“公和”的概念，其实就是摆动数列，所以．例2.对于任意两个集合X和Y，X-Y指所有属于X但不属于Y的集合，X和Y的对称差X△Y规定为X△Y=（X-Y）∪(X-Y）。设A={y︴y=x2,x∈R}，B={y︴y=3sinx,x∈R}，求A△B。解：A△B=[-3，0）∪（3，+∞）例3.如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．（1）设是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设是项数为(正整数)的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值？并求出的最大值；（3）对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得用心爱心专心116号编辑依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前项的和．解：（1）设的公差为，则，解得，数列为．（2），，当时，取得最大值．的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是：①；②；③；④．对于①，当时，．当时，．对于②，当时，．当时，．用心爱心专心116号编辑对于③，当时，．当时，．对于④，当时，．当时，．例4.（03年上海理科）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.（1）函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M；（3）若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.于是对于f(x)=ax有故f(x)=ax∈M.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx.因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT)∈[－1，1]，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立，只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx成立，则k=2mπ,m∈Z.当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx成立，即sin(kx－k+π)=sinkx成立，则－k+π=2mπ,m∈Z，即k=－2(m－1)π,m∈Z.综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}例5.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商用心爱心专心116号编辑场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200，400）[400，500）[500，700）[700，900）…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=，试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？[解]（1）%3310001302.01000（2）设商品的标价为x元则800500x，消费额：6408.0400x由已知得（I）5008.040031602.0xxx或（II）6408.0500311002.0xxx不等式组（I...
