6.2垂直关系的性质时间：25分钟1．在空间中，下列说法正确的是()①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．A．仅②正确B．仅①④正确C．仅①正确D．四种说法都正确答案B解析②中两直线可能相交或异面，③中两直线可能相交、平行或异面．故选B.2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案C解析如果α∩β＝b，则a⊥β.如果b不是平面α和β的交线，则a不一定垂直于β.如果α∩β＝a，则b⊥α，如果a不是平面α与β的交线，则b不一定垂直于α.故选C.3．在下列关于直线l、m与平面α、β的结论中，正确的结论是()A．若lβ且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α答案B解析A中l未必和交线垂直，∴l⊥α不成立；C中l可在平面α内，也可与平面α平行，故l∥α错误；D中l可在平面α内，故l∥α错误．故选B.4．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1，下列判断正确的是()A．A1C⊥平面AB1D1B．A1C⊥平面AB1C1DC．A1B⊥平面AB1D1D．A1B⊥AD1答案A解析∵BD∥B1D1，而BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，又AA1⊥B1D1，AA1∩AC＝A，∴B1D1⊥平面A1AC，∵A1C平面A1AC，∴B1D1⊥A1C，同理AB1⊥A1C，又AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.5．已知平面α、β、γ，直线l、m满足：l⊥m，α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，那么在①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β中，可以由上述已知推出的有()A．①和②B．②和③C．①和③D．②答案D解析一方面，由题意得所以l⊥α，故②是正确的．另一方面，如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，把AA1记作l，把平面ABB1A1记作β，把平面ACC1A1记作γ，把平面A1B1C1记作α，把直线A1C1记作m，就可以否定①与③，故选D.6．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD交于点O，下列结论中不一定正确的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PO⊥BDD．PA⊥BD答案C解析易证BC⊥平面PBA，CD⊥平面PDA，∴BC⊥PB，CD⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，故A，B，D正确，故选C.7．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案对角线AC与BD互相垂直(答案不唯一)解析当对角线AC与BD互相垂直时，由题意知A1A⊥BD，又A1A∩AC＝A，所以BD⊥平面A1AC.又B1D1∥BD，所以B1D1⊥平面A1AC.因为A1C平面A1AC，所以B1D1⊥A1C.8．已知a，b是互不垂直的异面直线，α，β分别是过a，b的平面，则下列四种情况：①a∥β；②a⊥β；③α∥β；④α⊥β，其中可能出现的情况有________(填序号)．答案①③④解析若a⊥β，则有a⊥b，与a，b互不垂直矛盾，所以②不可能出现，①③④均可能出现．9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D异于点C)，且AD⊥DE，求证：平面ADE⊥平面BCC1B1.证明∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，∴CC1⊥AD.又AD⊥DE，CC1平面BCC1B1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，∴AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC1B1.10．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.证明∵PA＝2AB，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴PA＝CA.又F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.又AF⊥PC，AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.
