专题限时集训(十二)圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第101页)(限时:40分钟)题型1圆锥曲线的定义、标准方程1,2,8,9,10,11,13题型2圆锥曲线的几何性质3,4,5,6,7,12,14一、选择题1.(2017·福州五校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合,且其离心率e=,则该双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1A[易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),所以双曲线的右顶点是(2,0),所以a=2.又双曲线的离心率e=,所以c=3,b2=c2-a2=5,所以双曲线的方程为-=1,选A.]2.(2017·上海崇明一模)如图121,椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的方程为()图121A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1C[如图,设椭圆C的右焦点为F′.由|OP|=|OF|=|OF′|,知PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,|PF′|===8.由|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,得a=6.由题意,得c=2,所以b2=a2-c2=62-(2)2=16.所以椭圆C的方程为+=1.故选C.]3.(2017·福建龙岩二模)已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,则双曲线的实轴长是()【导学号:07804090】A.32B.16C.84D.4B[由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由S△OMF2=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.]4.(2017·湖北四校联考)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,G是双曲线C上一点,且满足|GF1|-7|GF2|=0,则C经过第一象限的渐近线的斜率的取值范围是()A.B.C.D.A[因为|GF1|-7|GF2|=0,所以|GF1|=7|GF2|,由双曲线的定义得|GF1|-|GF2|=2a,联立得,得.又|GF1|+|GF2|≥|F1F2|,即+≥2c,即离心率e≤,因为e>1,所以1<e≤.又C经过第一象限的渐近线为y=x,所以双曲线C经过第一象限的渐近线的斜率==∈.]5.(2017·太原二模)已知双曲线-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与该抛物线相交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是AB的中点,则△AOB(O为坐标原点)的面积是()A.4B.3C.D.2D[如图,记抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,因为双曲线-y2=1的右焦点的坐标为(2,0),所以F(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,则y=8x1,y=8x2,所以y-y=8(x2-x1),所以k==,因为M(2,2)为AB的中点,所以y1+y2=4,k=2,所以直线AB的方程为y=2x+m,因为直线过点M(2,2),所以m=-2,所以直线AB的方程为y=2x-2,其与x轴的交点为C(1,0).由,得y2-4y-8=0,所以,所以|y1-y2|==4,所以△AOB的面积为×1×|y1-y2|=2,故选D.]6.(2017·福建八校最后一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点,过线段AB的中点作x轴的垂线,交抛物线C于点Q.若|2QA+QB|=|2QA-QB|,则p=()A.B.C.D.B[联立抛物线x2=2py与直线y=2x+2的方程,消去y得x2-4px-4p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=16p2+16p>0,x1+x2=4p,x1x2=-4p,∴Q(2p,2p). |2QA+QB|=|2QA-QB|,∴QA·QB=0,∴(x1-2p)(x2-2p)+(y1-2p)(y2-2p)=0,即(x1-2p)(x2-2p)+(2x1+2-2p)(2x2+2-2p)=0,∴5x1x2+(4-6p)(x1+x2)+8p2-8p+4=0,将x1+x2=4p,x1x2=-4p代入,得4p2+3p-1=0,得p=或p=-1(舍去).故选B.]7.(2017·山西八校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线的离心率e为()【导学号:07804091】A.B.C.2+1D.+1D[ 直线y=(x+c)过左焦点F1,且其倾斜角为30°,∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,∴∠F2PF1=90°,即F1P⊥F2P.∴|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|·sin60°=c,由双曲线的定义得2a=|PF1|-|PF2|=c-c,∴双曲线C的离心率e===+1,选D.]8.(2017·阜阳二模)已知椭圆+=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A(0,2)...