限时规范训练不等式选讲限时30分钟，实际用时________分值40分，实际得分________解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)1．(2017·吉林长春调研)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.解：(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.所以f(x)≤1的解集M＝{x|0≤x≤}．(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4，解得－≤x≤，因此N＝{x|－≤x≤}，故M∩N＝{x|0≤x≤}．当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－2≤.2．(2017·江南十校联考)设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：|a＋b|＜；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．解：(1)证明：设f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜，则M＝.所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.(2)由(1)得a2＜，b2＜.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式已知函数f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，由f(x)≥1，解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝，故m的取值范围为.
