课时跟踪检测(五十九)参数方程1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为．(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．解：(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为．(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．故直线AM的参数方程为(t为参数)．2．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈．(1)求C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，则C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，于是直线CD的斜率k＝＝．由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tant＝，t＝，所以，切点的直角坐标为，即(2＋，1)．3．(2017·湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．(1)求曲线C′的普通方程；(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．解：(1)将代入得曲线C′的参数方程为∴曲线C′的普通方程为＋y2＝1．(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，又D(1,3)，且AD的中点为P，∴又点A在曲线C′上，∴代入C′的普通方程＋y2＝1，得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4．4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0．联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和．(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π．因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4．当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4．5．(2016·长春质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos．(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．解：(1)对于曲线C2有ρ＝8cos，即ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，其表示以(2,2)为圆心，半径为4的圆．(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：t2－2sinα·t－13＝0，所以t1＋t2＝2sinα，t1t2＝－13，所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，因此|AB|的最小值为2，最大值为8．6．(2016·云南统测)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0．曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3．(2) 曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，即x2＋＝1，∴曲线C上的点的坐标可表示为(cosα，sinα)．∴d＝＝＝．∴d的最小值为＝，d的最大值为＝．∴≤d≤，即d的取值范围为．7．(2017·河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x．由直线l的参数方程得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0．(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分...
