椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积||||21PFPF取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。例1、椭圆192522yx上一点到它的二焦点的距离之积为m，则m取得的最大值时，P点的坐标是。P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程12222byax（222,0cbaba）p为椭圆上一点，21,FF是椭圆的二焦点，求||||21PFPF的取值范围。分析：22221))((||||xeaexaexaPFPF，)|(|ax当ax时，min21||||PFPF=222bca，当0x时，2max21||||aPFPF即2b||||21PFPF2a2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。例3、已知)1,1(A，1F、2F是椭圆15922yx的左右焦点，P为椭圆上一动点，则||||2PFPA的最大值是，此时P点坐标为。||||2PFPA的最小值是，此时P点坐标为。3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。例4、已知)1,1(A，1F是椭圆15922yx的左焦点，P为椭圆上一动点，则||||1PFPA的最小值是，此时P点坐标为。||||1PFPA的最大值是，此时P点坐标为。分析：||||||||||2121AFPFPFPFPA，当P是2AF的延长线与椭圆的交点时取等号。||||||||||2121AFPFPFPFPA，当P是2AF的反向延长线与椭圆的交点时取等号。4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的e1倍的和||1||PFePA的最小值（e为椭圆的离心率），可通过edPF||转化为dPA||（d为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。例5、已知定点)3,2(A，点F为椭圆1121622yx的右焦点，点M在该椭圆上移动，求||2||MFAM的最小值，并求此时M点的坐标。例6、已知点椭圆192522yx及点)0,3(),2,2(BA，),(yxP为椭圆上一个动点，则||5||3PBPA的最小值是。5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。例7、过椭圆12222byax（222,0cbaba）的中心的直线交椭圆于BA,两点，右焦点)0,(2cF，则2ABF的最大面积是。例8、已知F是椭圆22525922yx的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求PQF面积的最大值。6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。例9、P为椭圆12222byax（222,0cbaba）一点，左、右焦点为)0,(1cF)0,(2cF，则21FPF的最大面积是。7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。例10、已知A是椭圆22525922yx的长轴一个端点，PQ是过原点的一条弦，求APQ面积的最大值。8、椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。例11、设O为坐标原点，F是椭圆192522yx的右焦点，M是OF的中点，P为椭圆上任意一点，求||MP的最大值和最小值。例12、椭圆中心在原点，长轴在x轴上，23e，已知点)23,0(P到这个椭圆上的最远距离是7，求椭圆方程。9、椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。exar1)|(|ax为x的增函数，exar2)|(|ax为x的减函数，ax时，22,rr分别取得最大值ca和最小值ca。例13、椭圆192522yx上的点到右焦点的最大值，最小值。10、椭圆上的点到定直线的距离最近及最远点分别是与定直线平行的椭圆的两条切线的切点。例14、已知椭圆8822yx，在椭圆上求一点P，是P到直线04:yxl的距离最小，并求最小值。11、椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。范围大于等于00，小于它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。分析：aPFPF2||||21||||21PFPF2a22221222121222122221221||||22||||2||||244||||24||||cosacaPFPFcaPFPFPFPFcaPFPFcPFPF等号成立的条件：aPFPF||||21，即P点为短轴的端点。例15、已知椭圆C：12222byax)0(ba，两个焦点为22,FF，如果C上有一点Q，使021120QFF，求椭圆的离心率的取值范围。例16、如图所示，从椭圆12222byax)0(ba上一点M向x轴作垂线，恰好通过...
