奥数-第5讲线束定理、相似-竞赛班学生版VIP专享VIP免费

AB__B£_AC~ArB~~BC~~ArC证明：因为AB〃A'B',故AB_OB_OA~AB'~~OB'~OA同理可BC~BOBAC_OAA，C，_OAB___ACA'B'—B'CA'C'、线段等式：-+-_-.xyz如图所示，AB〃CD〃EF.若AB_x，CD_y,EF_z证明：由题意可得f_n，:_等与平行线相关的几何结论:、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.如图所示，直线l〃l，过点O的三条直线分别交l、l于A、A',B、B,C、C'，求证1212特别地，当AB_BC时，有A'B'_B'C'，反之亦然.点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据•平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n条直线所截的情形，即“过一点的n(n>3，nEN)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例•”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理.三、线段等式：EF_右AB+名CD.，则丄+丄_丄立EF=AB+CD在梯形ABCD中，EF平行于两条底边，交BC和DA于EF，其中H=肯八，则有如下等式成证明：由面积关系有:S+S+S=S+S+S=S=S+S=S+SAABFABECAFCDAABEABECAECD梯形ABCDAABCAACDAABCABCD则由S+S+S=S+SAABFABECAFCDAABCABCD得到丄sin0-AB-BF+丄sin0-EF-BC+丄sin0-CD-FC=丄sin0-AB-BC+^sin0-CD-BC22222(0为底边和腰BC的夹角)所以AB-BF+EF-BC+CD-FC=AB-BC+CD-BC即EF-BC=AB-(BC-BF)+CD-(BC-CF)CFBFiZ可化简为EF=——AB+——CD，即EF=AB+——CD.BCBC1+尢1+尢这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明.*沖板块一线束定理【例1】如图所示，已知D、E是AABC的边AC、AB上的点，BD、CE交于O,AO的延长线交BC于M.若DE〃BC,求证AM是AABC的中线.【例2】如图所示，M、N分别是矩形的边AD、BC的中点，在CD的延长线上取点P,PM交对角线AC于Q，求证NM平分ZPNQ.example【例3】如图所示，在AABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是HCDB和ACDA的角平分线，MN交CD于O,EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P,求证PQ=CD.【例4】如图所示，H是AABC的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证ZEDH=ZFDH•【例5】如图所示，AD是AABC的外接圆OO的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、AC于M、N，求证OM=ON.【例6】如图所示，在等腰RtAABCAD是直角边BC的中线,BE丄AD,且交AC于E,EF丄BC.(B)2a(D)5aAAFG,且G、A、B都在直线l上,证AL=abcab+bcBK=DMKA_MCJtfid1板块二：线段等式相关若AB=BC=a，贝9EF等于().【例7】如图所示，直线l同侧有三个相邻的等边AABC、AADE、设这三个三角形的边长依次分别为a、b、c，连接GD交AE于N，再连接BN交AC于L,求【例8】（基辅数学奥林匹克竞赛试题）在凸四边形ABCD中，K和M分别是AB和CD边上的点，且有AM与DK交于点P,BM与CK交于点Q，求证S=S+S且AKCDAADMABCM3CGAB习题1.如图所示，以线段AB为直径作半圆，在另一侧作矩形ABCD，使AB二迈AD，P为半圆上的意一点，PC、PD分别交AB于F、E两点，求证AF2+BE2=AB2.S=S+SMPKQAADPABCQ【变式】如图所示，在四边形ABCD中，DE=EF=FC,AG=GH=HB,求证四边形ABCD的面积等于四边形EFHG的面积的三倍.【例9】（2004年北京市初二数学竞赛）设A,B,C,D，E，F分别是凸六边形ABCDEF的边AB，BC，111111CD，DE，EF，FA的中点.AABC，ABCD，ACDE，ADEF，AEFA，AFAB的面积之和1111112为m，六边形ABCDEF的面积为S.证明：S=m.3AGHB习2(苏州市数学竞赛试题)如图所示，D、E分别是AABC的边BC、AB上的点，AD、CE交于F,BF、DE交于G.过G作BC的平行线分别交AB、CE、AC于M、H、N,求证GH=NH.CD=4•延长AD、BC交于点E,过E作平习题3.如图所示，已知梯形ABCD,AB〃CD且AB=7、行于AB的直线，分别交AC、BD的延长线于N、M,则MN=.习题4.(全国初中数学联合竞赛试题)如图所示，AB〃EF，EF〃CD，已知AB=20，CD=80,BC=100，那么EF的值为().(A)10(B)2(C)16(D)18两个简单的“悖论”你知道1-1+1-1+1—1+1—1+•••等于多少?解：设一—=1一x+X2一X3+，贝U当X=1时，有—=1一1+1一1+即...