§8.2双曲线考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考8.2双曲线双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理F2(c,0)F2(0,c)A2(a,0)A2(0，a)y＝±abx思考感悟1.在双曲线的第一定义中，如果常数2a＝|F1F2|,2a>|F1F2|,2a＝0时，则动点M的轨迹分别是什么？提示：如果2a＝|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；如果2a>|F1F2|，则轨迹不存在；如果2a＝0，则M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的离心率e的大小对双曲线的“开口”大小有什么影响？提示：双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据，由e＝ca>1可推出e越大，双曲线的“开口”就越开阔．课前热身1．(课后习题改编)双曲线x24－y23＝1的两条准线间的距离等于()A.677B.877C.185D.165答案：B答案：D2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43答案：A3．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－10C．k≥0D．k>1或k<－15．双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为________．4．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程为________．答案：x2－y29＝1答案：－14考点探究·挑战高考考点突破双曲线的定义双曲线的第一定义是到两定点的距离差的绝对值为常数(小于两定点间距离)时，才表示双支“”曲线，若无绝对值就只表示一支曲线；第二定义中，定点和定直线是一组对应关系．参考教材例1、3.已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【思路分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．例例11【解】如图所示，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22<|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．【领悟归纳】从|MC1|与|MC2|的大小关系上确定是双曲线的哪一支．如果由条件可知双曲线的焦点位置(虚实轴)，那么一般用待定系数法来解决，涉及几个独立参变量，那么就需要列出含有这几个参变量的方程组，进而求解，或者直接根据双曲线的定义求出a、b、c.参考习题8.4的第2、3题．求双曲线的方程【思路分析】要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a和b.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦距为16，准线方程为y＝±92；(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±32x.例例22【解】(1)由准线方程为y＝±92，可知双曲线的焦点在y轴上．由题意，得2c＝16，a2c＝92.解得a＝6，c＝8，所以b2＝c2－a2＝64－36＝28.因此，所求双曲线的方程为y236－x228＝1.(2)法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，(a>0，b>0)．由题意，得2a＝6，ba＝32.解得a＝3，b＝92.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为x29－y2814＝1.同理，可求焦点在y轴上的双曲线的方程为y29－x24＝1.因此所求双曲线方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.法二：设双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，24λ＝6，∴λ＝94.此时双曲线的方程为x29－y2814＝1；当λ<0时，2－9λ＝6，∴λ＝－1.此时双曲线方程为y29－x24＝1.【总结升华】如果满足题设条件的双曲线方程形式不确定时，一般有两种情况：x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1；如果满足题设条件的双曲线的标量a(或b或c)有两解，不能把x2a2－y2b2＝1中的x，y互换来得另一个方程如本例(2)．变式训练求适合条件的双曲线的标准方程．与双曲线x2－2y2＝2有共同渐近线，且过点(2，－2)．解：设与双曲线x2－2y2＝2有共同渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将(2，－2)代入得k＝－2，∴双曲线方程为y22－x24＝1.由双曲线方程研究性质或根据性质确定曲线方程时，首先要确定虚、实轴在哪个坐标轴上，否则就分类讨论．渐近线是圆锥曲线中仅双曲线具有的特殊性质．渐近线确定了双曲线的开口程度，但渐近线方程确定其对应的双曲线不一定确定．双曲线的几何性质及应用如图，F为双曲...
