【优化方案】2012高考数学总复习-第4章第3课时平面向量的数量积精品课件-文-新人教A版VIP免费

第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例温故夯基·面对高考1．数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则__________叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝____________；(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．|a||b|·cosθ|a||b|·cosθ思考感悟向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？提示：当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定：当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝02．数量积的性质(e是单位向量，〈a，e〉＝θ)(1)e·a＝a·e＝__________.(2)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝__________.特别地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b⇔__________.(4)cosθ＝________.(5)|a·b|≤|a||b|.|a|cosθ|a||b|－|a||b||a|2a·aa·b＝0a·b|a||b|3．数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝_________＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝___________.λ(a·b)a·c＋b·c4．数量积的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝______________.(2)若a＝(x，y)，则|a|2＝_______，|a|＝________.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|BA→|＝____________________.(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_____________________.x1x2＋y1y2x2＋y2x1x2＋y1y2＝0x1－x22＋y1－y22x2＋y2考点探究·挑战高考考点突破考点突破平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5.求AB→·BC→，|CD→|；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.例例11【思路分析】(1)作出三角形，找出向量夹角，利用数量积公式求解．(2)写出向量坐标，代入公式求解．【解】(1)如图，向量AB→，BC→的夹角为120°，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos120°＝5×5×(－12)＝－252.法一：CD→＝12(CA→＋CB→)，∴|CD→|2＝14(CA→＋CB→)2＝14(|CA→|2＋2CA→·CB→＋|CB→|2)＝14×(25＋2×5×5×cos60°＋25)＝754，∴|CD→|＝532.法二：由△ABC是正三角形可知|CD→|＝CD＝CA·sin60°＝5×32＝532.(2)a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，∴(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝－12＋30＝18. a＋2b＝(3，－4)＋2(2,1)＝(7，－2)，∴|a＋2b|＝72＋－22＝53.【规律小结】向量的数量积的运算结果是一个数量，平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法．我们遇到求向量的模时，可先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．互动探究若本例(1)中将等边三角形改为等腰直角三角形，∠C＝90°，又将如何求解？解：AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos135°， |AB→|＝5，∴|BC→|＝522，∴AB→·BC→＝5×522×(－22)＝－252，又△ABC是等腰直角三角形，∴|CD→|＝12|AB→|＝52.平面向量的夹角(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．(2)若已知a与b的坐标，则可直接利用公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量a，b的夹角θ∈[0，π]．(2011年广州调研)已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求：(1)a与b的夹角的大小；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．例例22【思路分析】利用向量夹角的余弦公式cosθ＝a·b|a||b|求解．【解】(1) (a－b)·(a＋b)＝12.∴|a|2－|b|2＝12.又 |a|＝1，∴|b|＝|a|2－12＝22.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.即a与b的夹角为π4.(2) (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，∴|a－b|＝22， (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a＋b|＝102，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝a－b·a＋b|a－b||a＋b|＝1222×10...