3.2.4空间距离的计算VIP免费

攸县一中洪开科1．两点的距离(线段的长)222212121||()()()�ABdABxxyyzzu||||ABudu�2．点A到平面的距离设斜线AB交平面α于B，是α的法向量,则ABu即点A到平面的距离可转化为向量上的射影长ABu�在3．异面直线的距离设A、B分别是异面直线a、b上任意两点,uab是、的法向量，则||||ABudu�uabCDBACD为a,b的公垂线即a、b间的距离可转化为向量上的射影长，ABu�在G例1．如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD∴217CD�答:CD的长为217.注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.222:||()CDCDCAABBD解�2222||222CDCAABBDCAABABBDCABD�222164800268()682,120CABD� CA=6，AB=4，BD=8，CA⊥AB，AB⊥BD，分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.果断地用坐标法处理.例2．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz(2,2,0),(2,4,2),EFEG�2202420uEFxyxyzuEG����则(0,4,0),(2,0,0)BBE�又例2．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz解：如图建立空间直角坐标系C-xyz则G(0,0,2)，E(2,4,0)，F(4,2,0)(,,)uxyz设平面GEF的法向量为设x=1解得(1,1,3)u||221111||11BEudu�为所求点B到平面GEF的距离用空间向量解决立体几何中点到平面的距离，垂线段常常不必要作出来，找出平面内的两个向量利用方程组求出法向量||||ABndn�求一个斜线段AB向量设点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(-5,-4,8)，求点D到平面ABC的距离。(2,2,1),(4,0,6),ABAC�(,,)ABCuxyz设平面的法向量为220460uABxyzxzuAC����则设x=3解得(3,2,2)u(7,7,7)DA�又||211414491717||17DAudu�为所求点D到平面ABC的距离解：ABCC1EA1B1例3．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=4，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，求CE与AB1的距离。xyz解：如图建立空间直角坐标系C-xyz则A(2,0,0)，B1(0,2,4)，E(1,1,0)1(2,2,4),(1,1,0),ABCE�1,(,,)ABCEuxyz�设的法向量为122400uABxyzxyuCE����则设x=1解得(1,1,1)u(2,0,0)CA�又||2233||3CAudu�为所求CE与AB1的距离。EFEAAAAF�解：22||()EFEAAAAF�2222()EAAAAFEAAAEAAFAAAF��22222lEAAAAFEAAF��2222cosmdnmn2222cosdlmnmn例4．如图已知两条异面直线a,b所成的角为θ，点E,F分别在直线a,b上，线段AA'是公垂线段，且A'E=m，AF=n，EF=l，求线段AA'的长d．,,,AAEAAAAFAEAF�或-即当时，运算中取“+＂,AEAF�当E,F在公垂线同一侧时取正号1．两点的距离(线段的长)222212121||()()()�ABdABxxyyzzu||||ABudu�2．点A到平面的距离设斜线AB交平面α于B，是α的法向量,则ABu小结3．异面直线的距离设A、B分别是异面直线a、b上任意两点,uab是、的法向量，则||||ABudu�uabCDBACD为a,b的公垂线G五、迁移练习1．如图在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1．若二面角C-AB-C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为()A．0.25B．0.5C．0.75D．12．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为.3．如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，测得库底与水坝所成二面角为θ。求AB的长.ABCD22)(DBCD...