第10讲函数与方程一、选择题1．若函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a＜B．a＞C．a≤D．a≥解析：由题意，函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，即方程x2＋2x＋3a＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a＜0，解得a＞.答案：B2．(2009·福建)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln解析：∵g′(x)＝4xln4＋2＞0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上是递增函数．又g(0)＝1－2＝－1＜0，g＝2＋1－2＝1＞0，∴g(x)只有一个零点x0，且x0∈.对于选项A：f(x)＝4x－1，其零点为x＝，∴＜，故选项A符合．答案：A3．(2010·改编题)已知函数f(x)＝，若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：f(0)＝－2，即－02＋b·0＋c＝－2，c＝－2；f(－1)＝1，即－(－1)2＋b·(－1)＋c＝1，故b＝－4.故f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x＝，令g(x)＝0，则－2＋x＝0，解得x＝2，或－x2－3x－2＝0，解得x＝－2或－1，故有3个零点．答案：C4．(2010·山东枣庄调研)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为()A．12B．14C．13D．8解析：如右图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)与g(x)共有5个交点，故在区间[-5,0]上共有5个交点；当x∈(0,10]时结合图象知共有9个交点．故函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]上共有14个零点．答案：B二、填空题5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0可用心爱心专心得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．解析：∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)＜0，f(0.5)＞0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．答案：(0,0.5)f(0.25)6．(2009·天津南开调研)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由，得∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－，－.答案：－，－7．(2010·广东茂名调研)设方程2x＋x＝4的根为x0，若x0∈，则整数k＝________.解析：根据题意，当x＝时，2x＋x＜4；当x＝时，2x＋x＞4；所以x0∈，故整数k＝1.答案：1三、解答题8．函数f(x)＝x3－3x＋2，(1)求f(x)的零点；(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.(2)令f(x)＜0，得x＜－2；所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．9．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点．解：由题意知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点．令2x＝t(t＞0)，∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根，∴由图象可知∴m＝－2.当m＝－2时，t＝1，∴x＝0.∴函数f(x)的零点为0.10．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围．解：设f(x)=3x2-5x+a，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．∵f(x)=0的两根分别在区间(-2,0)，(1,3)内，∴用心爱心专心即解得-12＜a＜0.所求a的取值范围是(-12,0)．1．(★★★★)若方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0的最小整数是()A．4B．5C．6D．7解析：分别作出函数y＝lnx与y＝10－2x的图象，如图，由图可得不小于x0的最小整数是5.答案：B2．(2010·创新题)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，给出下列四个命题：①b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④函数f(x)至多有两个零点．则上述命题中所有正确命题的序号是________．解析：当b＝0，c＞0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，结合图象知f(x)＝0只有一个实数根，故①正确；当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，f(－x)＝－f(x)，故y＝f(x)是奇函数，②正确；y＝f(x)的图象可由奇函数g(x)＝x|x|＋bx向上或向下平移|c|个单位得到，而y＝f(x)的图象与y轴的交点为(0，c)，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称，③正确；方程|x|x－5x＋6＝0有三个解－6、2、3，即三个零点，故④错误．答案：①②③用心爱心专心
