【全程复习方略】2013版高中数学5.2等差数列课时提能训练苏教版(45分钟100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2012·盐城模拟)已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=-π,则sina7=______.2.若等差数列{an}的前5项和为S5=25，且a2=3,则a7=______.3.(2012·苏州模拟)等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3=S8,S7=Sk,则k的值为______.4.已知数列则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=______.5.(2012·泰州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且，则=______．6.已知{an}为等差数列，a2=0,a4=-2,Sn=f(n),则f(n)的最大值为______.7.各项均不为零的等差数列{an}中，若an2-an-1-an+1=0(n∈N*,n≥2),则S2012等于______.8.已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为______.二、解答题(每小题15分，共45分)9.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n,设bn=,求证：数列{bn}是等差数列.10.已知数列{an}中，a1=8,a4=2,且满足an+2+an=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.11.(2012·南通模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{bn}的通项公式为问：是否存在正整数t，使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【探究创新】(15分)设同时满足条件：①(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列.(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3=4,S3=18,求Sn;(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由.1答案解析1.【解析】∵a1+a7+a13=3a7=-π,∴a7=∴sina7=答案：2.【解析】由已知得∴∴a7=a1+6d=1+6×2=13.答案：133.【解析】由S3=S8得∴a1=-5d.由S7=Sk得∴k2-11k+28=0,解得k=4或k=7(舍).答案：44.【解析】由题意得a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=0+2+2+4+4+…+98+98+100=2(2+4+6+…+98)+100=+100=5000.答案：500025.【解析】∵∴∴答案：【方法技巧】巧解前n项和的比值问题关于前n项和的比值问题，一般可采用前n项和与中间项的关系，尤其是项数为奇数时，Sn=na中，也可利用首项与公差的关系求解.另外，熟记以下结论对解题会有很大帮助：若数列{an}与{bn}都是等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则【变式备选】等差数列{an}中，若则=______.【解析】答案：16.【解析】{an}为等差数列，a2=0,a4=-2,故2d=-2-0=-2，得d=-1，故有a1=1,数列{an}的公差为-1，它是一个递减的数列，只有首项为正数，所以Sn=f(n)的最大值是1.答案：17.【解题指南】解答本题的关键是对条件“an2-an-1-an+1=0”的应用，可根据各项下标的关系得到an-1+an+1=2an,从而解方程可求an.【解析】∵an-1+an+1=2an,∴an2-an-1-an+1=an2-2an=0,解得an=2或an=0(舍).∴S2012=2×2012=4024.答案：402438.【解析】由题意知=100,∴a1+a20=a7+a14=10,∴a7·a14≤=25.答案：259.【证明】∵an+1=2an+2n，∴∴bn+1-bn=1.又b1=a1=1，∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.10.【解析】(1)由2an+1=an+2+an可得{an}是等差数列，且公差∴an=a1+(n-1)d=-2n+10.(2)令an≥0得n≤5.即当n≤5时，an≥0；n≥6时，an<0.∴当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+9n;当n≥6时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2+…+a5)=-(-n2+9n)+2×(-52+45)=n2-9n+40,∴11.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得即解得故an=2n-1,Sn=n2.4(2)由(1)知要使b1,b2,bm成等差数列，必须2b2=b1+bm,即整理得m=，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4.故存在正整数t，使得b1,b2,bm成等差数列.【探究创新】【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,∴(2)得故数列{Sn}适合条件①.而Sn=-n2+9n=(n∈N*),则当n=4或5时，Sn有最大值20,即Sn≤20,故数列{Sn}适合条件②.综上,数列{Sn}是“特界”数列.5
