学案学案77空间向量在立体几何空间向量在立体几何中的应用中的应用空间向量在立体几何中的应用1.理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力.预计2012年仍将以考查用向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力.1.平面的法向量直线lα⊥，取直线l的，则叫做平面α的法向量.2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则lα∥.方向向量a向量a⇔⇔u·v=0a1a2+b1b2+c1c2=03.设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则lα⊥.若平面α的法向量u=(a1,b1,c1)，平面β的法向量v=(a2,b2,c2)，则αβ⊥.4.空间的角(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2，l1与l2所成的角为α，则cosα=.⇔⇔⇔⇔⇔⇔uv∥(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2u·v=0uv⊥a1a2+b1b2+c1c2=0|cos
|(2)已知直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,l与α的夹角为α，则sinα=.(3)已知二面角α—l—β的两个面α和β的法向量分别为v,u,则与该二面角.5.空间的距离(1)一个点到它在一个平面内的距离，叫做点到这个平面的距离.(2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离都，且叫做l到α的距离.|cos|相等或互补正射影相等(3)和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的.两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.(4)若平面α的一个为m，P是α外一点，A是α内任一点，则点P到α的距离d=.垂直公垂线段长度法向量|m||PA·m|如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB,EFFB,AB=2EF,BF∥⊥∠C=90°，BF=FC,H为BC的中点.(1)求证：FH∥平面EDB;(2)求证：AC⊥平面EDB.考点考点11用向量证明平行、垂直问题用向量证明平行、垂直问题【证明】 四边形ABCD为正方形,∴ABBC.⊥又EFAB,EFBC.∥∴⊥又EFFB,EF⊥∴⊥平面BFC.EFFH,∴⊥∴ABFH.⊥又BF=FC,H为BC的中点,∴FHBC.FH⊥∴⊥平面ABC.以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向，建立如图所示的坐标系.设BH=1,则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).【分析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明.(1)设AC与BD的交点为G，连接EG,GH,则G(0,-1,0),GE=(0,0,1).∴又HF=(0,0,1),∴HFGE.∥又GE平面EDB,HF平面EDB,∴FH∥平面EBD.(2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC·GE=0,∴ACGE.⊥又ACBD,EG∩BD=G,AC⊥∴⊥平面EDB.【评析】【评析】利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形.（1）证明：直线BC∥EF；（2）求棱锥F—OBED的体积.【解析】【分析】【分析】根据条件建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算证明、求解.考点考点22用向量方法求线面角用向量方法求线面角如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC,ABAC,PA=AC=AB⊥，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(1)证明：CMSN;⊥(2)求SN与平面CMN所成角的大小.21【解析】(1)证明:设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M（1,0,）,N（,0,0）,S（1,,0）.所以CM=（1,-1,）,SN=（-,-,0）.因为CM·SN=-++0=0,所以CMSN.⊥2121212121212121(2)NC=（-,1,0）,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，a·5CM=0a·NC=0,x-y+z=0-x+y=0，因为|cos|=所以SN与平面CMN所...
