【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题第一部分专题18配套专题检测1．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数．(1)求P(ξ＝2)；(2)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P(ξ＝2)＝＝.(2)由题意可知，ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P(ξ＝3)＝＝.P(ξ＝4)＝＝.∴ξ的分布列为：ξ234P∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.2.用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解：(1)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．又因为A、D为红色时，共有4×3×3＝36种；B、E为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，ABED1事件M包含的基本事件有：36＋36＝72种．所以P(M)＝＝.(2)随机变量ξ的分布列为：ξ012P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.3．(2012·南通二模)某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)若射击4次，每次击中目标的概率为且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(2)若射击2次均击中目标，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A发生的概率．解：(1)依题意知ξ～B，ξ的分布列：ξ01234P数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(2)法一：设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2,3.Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2,3.依题意，知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1∪B1∪A1B1∪A2B2，所求的概率为P(A)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.即事件A发生的概率为0.28.法二：记“第一部分至少击中一次”为事件C，“第二部分被击中二次”为事件D，则P(C)＝C0.1×0.9＋0.1×0.1＝0.19，P(D)＝0.3×0.3＝0.09.P(A)＝P(C)＋P(D)＝0.28.即事件A发生的概率为0.28.4.(2012·南通二模)已知函数f(x)＝(2x＋1)ln(2x＋1)－a(2x＋1)2－x(a>0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取极值，求a的值；(2)如图，设直线x＝－，y＝－x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y＝f(x)的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；(3)比较32×43×54×…×20122011与23×34×45×…×20112012的大小，并说明理由．解：(1)f(x)＝(2x＋1)ln(2x＋1)－a(2x＋1)2－x(a>0)，f′(x)＝2ln(2x＋1)－4a(2x＋1)＋1. f(x)在x＝0处取极值，∴f′(0)＝－4a＋1＝0.∴a＝.(2)因为函数的定义域为，且当x＝0时，f(0)＝－a<0.2又直线y＝－x恰好通过原点，所以函数y＝f(x)的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得f(x)<－x，即(2x＋1)ln(2x＋1)－a(2x＋1)2－x<－x. 2x＋1>0，∴a>.令h(x)＝，∴h′(x)＝.令h′(x)＝0，得x＝. x>－，∴x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增；x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减．∴hmax(x)＝h＝.∴a的取值范围是.(3)由(2)知，函数h(x)＝在x∈时单调递减，函数p(x)＝在x∈(e，＋∞)时单调递减．∴<，∴xln(x＋1)<(x＋1)lnx.∴ln(x＋1)x
