函数解析式的求法湖北老河口市第一中学秦孔正函数的解析式就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示.简称解析式.它是函数的一种表示方法.用解析式表示函数关系的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质.求函数的解析式的主要方法有:待定系数法,换元法,消参法,解方程组法,凑合法等.(1)根据某实际问题需建立一种函数关系式,这种情况需引入合适的变量,根据数学的有关知识找出函数关系式.例1:建筑一个容积为8000m,深为6m的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为a元,池底每平方米的造价为2a元,把总造价y元表示为一底边长xm的函数,求函数的解析式.解:容积V=8000,深h=6,一底边长为x,则另一底边长为∴(x＞0)(2)有些题给出函数特征,求函数解析式,可用待定系数法,比如二次函数,可设为f(x)=ax+bx+c(a≠0),其中a,b,c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a,b,c即可.例2:已知f(x)是二次函数,且f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3,求f(x).解:设f(x)=ax+bx+c(a≠0),依题意得①4a+2b+c=-3②4a-2b+c=-7解得a=-1/2,b=1,c=-3③C=-3∴f(x)=-1/2x+x-3(3)换元法求解析式,形如f[h(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元来解.例3:已知f(+1)=x+2,求f(x)与f(x+1).解:设t=+1≥1,则=t-1,x=(t-1)于是f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1(t≥1)∴f(x)=x-1(x≥1)f(x+1)=(x+1)-1=x+2x(x≥0)(4)解方程组法,已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如f(-x),f(1/x)等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).例4:设f(x)满足f(x)-2f(1/x)=x,求f(x)的解析式.解:∵f(x)-2f(1/x)=x①显然x≠0,将x换成1/x,∴原方程化为f(1/x)-2f(x)=1/x②解①②两式组成的方程组,消去f(1/x)得f(x)=-x/3-2/(3x)(5)凑合法,是将函数方程中的解析式,凑成函数符号下的式子关系,然后将此式子用自变量x代换.例5:已知f(x-1/x)=x+1/x,求f(x),f(x+1).解:∵f(x-1/x)=x+1/x=x-2+1/x+2=(x-1/x)+2∴f(x)=x+2f(x+1)=(x+1)+2=x+2x+3
