第五节椭圆抓基础明考向提能力我来演练第八章平面解析几何[备考方向要明了]考什么1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，理解它的简单的几何性质.怎么考1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.2.定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题目.一、椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之等于常数(|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的．和大于焦点焦距二、椭圆的标准方程及其几何性质条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0图形条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0标准方程范围对称性曲线关于对称曲线关于对称x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤ax轴、y轴、原点x轴、y轴、原点条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0顶点长轴顶点短轴顶点长轴顶点短轴顶点焦点焦距|F1F2|＝(c2＝)(±a,0)(0，±b)(0，±a)(±b,0)(±c,0)(0，±c)a2－b22c条件2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0离心率e＝∈，其中c＝通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为.ca(0,1)a2－b22b2a1．(教材习题改编)椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．12答案：C解析：由于焦点位置不确定，故10－m－(m－2)＝4或m－2－(10－m)＝4.∴m＝4或8.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.15解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝35或e＝－1(舍去)．答案：B3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为()A.x2144＋y2128＝1B.x236＋y220＝1C.x232＋y236＝1D.x236＋y232＝1答案：D解析：2a＝12，ca＝13，∴a＝6，c＝2.b2＝32，所以椭圆的方程为x236＋y232＝1.4．(教材习题改编)已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为________．解析：当椭圆焦点在x轴上a2＝5，b2＝m，∴c2＝5－m.∴5－m5＝105.∴5－m5＝1025.∴m＝3.焦点在y轴上时得m－5m＝1025.∴m＝253.∴m的值为m＝3或m＝253.答案：3或2535．(教材习题改编)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为________．解析：l＝|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16.答案：161．椭圆的定义中若|F1F2|＝2a时动点的轨迹是线段F1F2，|F1F2|>2a时动点的轨迹是不存在的．2.椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c.易见c2＝a2－b2，且若记∠OF1B2＝θ，则cosθ＝ca＝e.[精析考题][例1](2011·江西高考)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[自主解答]由题可设斜率存在的切线的方程为y－12＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由|－2k＋1|4k2＋4＝1，解得k＝－34，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A(35，45)，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0的右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为x25＋y24＝1.[答案]x25＋y24＝1本例变为“若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点P(4,4)作PF1与圆C(x－m)2＋y2＝5(m<3)相切，且圆C与椭圆的一个公共点为A(3,1)”，问题不变．解： A点在圆上，∴(3－m)2＋1＝5.又m<3，∴m＝1.设F1(－c,0)， P(4,4)，∴PF1：4x－(4＋c)y＋4c＝0.又直线PF1与圆相切，∴|4＋4c|16＋4＋c2＝5.∴c＝4.①又 9a2＋1b2＝1，②由①②得a2＝18，b2＝2.∴椭圆方程为x218＋y22＝1.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2011·温州三模)已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，若△PF1F2的周...
