第四部分专题一　整体思想VIP免费

第四部分中考专题突破专题一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易.整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．数与式的运算中的整体思想例1：先化简，再求值：a＋2a2－2a－a－1a2－4a＋4÷a－4a－2，其中a满足a2－2a－1＝0.分析：对分式进行化简结果为1a2－2a，如果先把a的值求出再代入计算，显得繁琐，但如果把a2－2a看成一个整体，则由已知可得其值为1.解：原式＝a＋2aa－2－a－1a－22·a－2a－4＝a－4aa－22·a－2a－4＝1a2－2a.当a2－2a＝1时，原式＝1a2－2a＝1.方程(组)或不等式(组)中的整体思想例2：(2010年广西桂林)已知x＋1x＝3，则代数式x2＋1x2的值为________．解析：如果根据题意直接求出x再代入到x2＋1x2中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考虑到条件和结论的形式非常相似，可以考虑用完全平方公式进行变形化简，得：x2＋1x2＝(x＋1x)2－2，再把x＋1x＝3整体代入．答案：7规律方法：此题是灵活运用数学方法、解题技巧求值的问题，首先要观察条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解．例3：已知关于x，y的二元一次方程组3x－ay＝5，x＋by＝11的解为x＝5，y＝6，那么关于x，y的二元一次方程组3x＋y－ax－y＝5，x＋y＋bx－y＝11的解为__________________．解析：如果把x＝5，y＝6代入3x－ay＝5，x＋by＝11，解出a，b的值，再代入3x＋y－ax－y＝5，x＋y＋bx－y＝11进行求解是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方程组3x＋y－ax－y＝5，x＋y＋bx－y＝11中，令x＋y＝m，x－y＝n，则此方程组变形为3m－an＝5，m＋bn＝11第一个方程组即知m＝5，n＝6.从而x＋y＝5，x－y＝6容易得到第二个方程组的解规律方法：通过整体加减即避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组(不等式组)，解答直接简便．为x＝112，y＝－12.答案：x＝112，y＝－12在函数中的应用例4：已知y＋m和x－n成正比例，其中m，n是常数．(1)求证：y是x的一次函数；(2)当y＝－15时，x＝－1；当x＝7时，y＝1.求这个函数的解析式．(1)证明：由已知，y＋m和x－n成正比例，故可设y＋m＝k(x－n)(k≠0)，整理可，得y＝kx－(kn＋m)．因为k≠0，k，－(kn＋m)为常数，所以y是x的一次函数．规律方法：此题在解方程组时，单独解出k，m，n是不可能的，也涉及不必要的．故将kn＋m看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．(2)解：由题意，可得方程组－15＝－k－kn＋m，1＝7k－kn＋m，解得k＝2，kn＋m＝13.故所求的函数解析式为y＝2x－13.几何与图形中的整体思想例5：如图Z1－1，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，半径都是0.5cm，则图中阴影部分的面积是()图Z1－1解析：由于不能求出各个扇形的面积，因此，要将三个阴影部分看作一个整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0.5cm的半圆的面积．答案：BA.π12cm2B.π8cm2C.π4cm2D.π6cm2