渡河问题的最值VIP免费

“船渡河”中的“最值”问题例1一条宽为的河流，河水流速为，船在静水中的航速为。（1）要使船以最短时间过河，船头应指向什么方向？此时用时是多少？（2）要使船划到对岸时航程最短，船头应指向什么方向？最短航程是多少？为了研究好这类问题，先说明三个速度及其之间的关系。取船在静水中的速度为，河水流速为，、的合速度为，则。可以写成，因此，静水速度为船相对流水的速度；有人将静水速度也称为船的划水速度。船头所指的方向应为静水速度方向。（1）认为河岸是平直的，水流速度是平行河岸的，这样，水流速度与船过河所需的时间是无关的。船过河所需的时间取决于静水速度垂直于河岸方向的分速度。要使船以最短时间过河，船头应垂直指向河岸，此时用时是/。（2）这里“要使船划到对岸时航程最短”需分为三种情况讨论。①>时，可作出图1－1，看出能保证是垂直河岸的，这时最短的航程是河宽。这时船头应指向斜向上游的图示方向，其中，。②＝时，这里只是从理论上说，参见图1－1，，船头指向趋近于沿河岸，航程最短，；但此时用时∞。③<时，先说说解析式分析。参见图1－2所示，设和方向夹角为，取船沿河岸方向速度为（），垂直河岸方向速度为。渡河时间为①沿河岸方向通过距离为②因路程③这样，研究“最短路程”，即为研究的最小值。而极值的解析式分析对中学生来说是不方便的。下面通过作图分析，巧妙地解决了这一难题。参见图1－3，以箭头处为圆心，取长度为半径作圆弧；过作该圆弧的切线，切点与箭头处的连线即表示，矢量线段即表示船的合速度，方向为最短航程的方向。1v水v静v船a下游图1－1a1v2v上游图1－21v'o2vPv船MNoyx图1－3不妨对“方向为最短航程的方向”作一反证法说明。图1－3中虚线为不失一般性的满足和的船的合速度方向，显见“非方向”的航程总要大于“方向”的航程；若船的合速度与正轴方向夹角大于图1－3中，看起来好像航程更短，但却不能满足，即不可能实现。进一步处理，参见图1－4，看出与相似，有，最短航程。例2有一小船位于宽的河边，在其下游处河流变为瀑布。假设河水流速为，为使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？参见图2－1所示，设静水速度、水流速度大小分别为、。①②由式①除以式②，，得③令，可得④取（），有最小值。再参见图2－2所示，看出，（）＝，满足条件的最小静水速度应垂直于。再参见图2－3所示，利用速度合成图与几何尺寸图相似，，。21v2vv船PxyoTQR图1－4a1v2vsLoAB图2－1a1vsLoAB图2－21vsLoAB图2－32vv船