2017年自招与三位一体专题VIP免费

2017年自招与三位一体专题第七讲定积分与微积分应用在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。一、知识精讲一．定积分：设函数()fx在[,]ab上有界，在[,]ab中任意插入若干个分点0121nnaxxxxxb。把区间[,]ab分成n个小区间，各小区间的长度依次为1(1,2)iiixxxi并作和1()niiiSffx，记12max,,nxxx，如果不论对[,]ab怎样的分法，也不论在小区间1[,]iixx上点if怎样的取法，只要当0时，和S趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记为01()lim()bniiiafxdxIffx。二．定积分存在定理：①当函数()fx在区间[,]ab上连续时，则()fx在区间[,]ab上可积；②设函数()fx在区间[,]ab上有界，且只有有限个间断点，则()fx在区间[,]ab上可积。三．定积分的几何意义：()0fx时，()bafxdxA，则A表示()fx的图像与,xaxb及x轴围成的曲边梯形面积；若()0fx，令()bafxdxA，则A表示()fx的图像与,xaxb及x轴围成的曲边梯形面积的负值。四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式如果()fx是区间[,]ab上的连续函数，并且'()()Fxfx，则()()()bafxdxFbFa。若记()()()|baFbFaFx，则()()|()()bbaafxdxFxFbFa。牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数问题。五．洛必塔法则：设（1）如果当xa时，函数(),()fxgx都趋于零；（2）在(,)a内，'(),'()fxgx都存在，且'()0gx；（3）极限'()lim'()xafxgx存在（或为无穷大）；则()lim()xafxgx存在，且()'()limlim()'()xaxafxfxgxgx。上述准则称为洛必塔法则。六．二次曲线在某点处的切线方程：①设00(,)Pxy是圆222xyR上一点，则过00(,)Pxy的圆切线方程为200xxyyR；②设00(,)Pxy是椭圆22221xyab上一点，则过点00(,)Pxy的椭圆切线方程为00221xxyyab；③设00(,)Pxy是双曲线22221xyab上一点，则过00(,)Pxy的双曲线切线方程为00221xxyyab；④设00(,)Pxy是抛物线22ypx上一点，则过00(,)Pxy的抛物线切线方程为00()yypxx；七．函数的单调性：若函数f在(,)ab内可导，则f在(,)ab内递增（递减）的充要条件是'()0fx（'()0fx），(,)xab。八．函数的极值：1.定义：已知函数()yfx及其定义域内一点0x，对于存在一个包含0x的开区间内的所有点x，如果都有0()()fxfx＜则称函数()yfx在点0x处取得极大值，记作0()yfx极大值，并把0x称为函数()yfx的一个极大值点；如果都有0()()fxfx＞则称函数()yfx在点0x处取得极小值，记作0()yfx极大值，并把0x称为函数()yfx的一个极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。注意：（1）.函数()yfx的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。2.极值的必要条件：若函数f在0x可导，且在0x处取得极值，则0'()0fx。九．两个重要的极限：1.0sinlim1xxx，2.1lim()xxxex[来源:学&科&网]三、典例精讲例1．（2011复旦）设a为正数，322()2fxxaxa，若()fx在区间(0,)a上大于0，则a的取值范围是（）。（A）(0,1]（B）(0,1)（C）(1,)（D）[1,)►答案：A►分析与解：2'()34fxxax，当(0,)xa时，'()0fx，所以()fx在(0,)a上单调递减，所以()fx在(0,)a上大于0，当且仅当()0fa，即33220,01aaaa。例2．（2011“华约”）已知3221yxxx，过(1,1)的直线与该函数图像相切，且(1,1)不是切点，求直线斜率。►分析与解：显然(1,1)在3221yxxx的图象上。设切点为320000(,21)xxxx，2'322yxx，所以200322kxx。另一方面，32200000000(21)1(2)(1)1xxxxxxkxx00(2)xx。所以20000(2)322xxxx，20022,1xx，而01x，所以01x，所以1k。例3．（2010南开）求证：3sin,0,62xxxx。►分析与解：令3()sin0,62xfxxxx...