高三数学第一轮复习：数列、等差数列(理)人教版VIP专享VIP免费

高三数学第一轮复习：数列、等差数列（理）人教版【本讲教育信息】一.教学内容：数列、等差数列二.本周教学重、难点：1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2.理解等差数列的有关概念；掌握等差数列的通项公式和前项和公式，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题。【典型例题】[例1]根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）（）（2）（3）解：（1）∵∴∴（2）方法一：∵∴方法二：由题意知对一切自然数成立∴∴（3）∵∴∴是首项为，公比为的等比数列∴∴[例2]已知函数（1）求的反函数；（2）设（），求；（3）设，是否存在最小正整数，使得对任意，有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）设∵∴即（2）∵∴∴是公差为4的等差数列∵∴∵∴（3），由，得设∵在上是减函数∴的最大值是∴，存在最小正整数，使对任意有成立。[例3]已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是递减数列。解：（1）∵，∴，（看成关于的方程）∴，∵∴（2）证明：∵又∵∴，数列是递减数列[例4]已知数列是等差数列，其前项和为，，。（1）求数列的通项公式；（2）设是正整数，且，证明解：（1）设等差数列的公差是，依题意，得解得∴数列的通项公式为（2）证明：∵∴∵∵∴∴[例5]已知数列中，（），数列满足。（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由。（1）证明：∵，而∴（且），∴是首项为，公差的等差数列（2）解：由（1）得，则设函数，则∴在区间和内为减函数∴当时，，当时，且∴的最小值为，最大值为[例6]已知等比数列的各项均为正数，公比，数列满足，，且（）（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项的和。解：（1）由已知式得∵是公比为的等比数列，等式可化为∵∴∴，即∴为常数即是等差数列，设公差为，则解得∴（2）设前项和为，∵当且仅当时∴[例7]对于数列，有，且，，求：（1）的值；（2）数列的通项公式；（3）使的最小的正整数的值，并说明理由。解：（1），又=4∴（2）当时，当时，∴（3），即，令，时，当且为正整数时，，为递增数列当且为正整数时，，为递减数列当时，当时，使的最小的正整数的值为11[例8]数列中，，当时，其前项和满足（1）求的表达式；（2）设，求数列的前项和。解：（1）当时，，即∴∴数列是公差为2的等差数列，其首项∴，从而（2）【模拟试题】一.选择题：1.在数列中，，则等于（）A.B.1C.0D.22.设是等差数列的前项和，若，则等于（）A.1B.C.2D.3.已知数列为等差数列，且，，则等于（）A.2B.C.1D.4.已知数列的前项和且，则等于（）A.16B.4C.8D.不确定5.已知数列满足，（），则等于（）A.0B.C.D.6.若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（）A.4009B.4010C.4011D.40127.设数列、都是等差数列，且，，，那么由所组成的数列的第37项的值为（）A.0B.37C.100D.8.等差数列中，，，则此数列前20项和等于（）A.160B.180C.200D.220二.解析题：1.已知数列，其中，，数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式。2.设等差数列的前项和为，已知，，。（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个值最大，并说明理由。3.设是等差数列，，已知，且，求等差数列的通项。【试题答案】一.1.A解析：由已知，∴2.A解析：（1）∵，∴，故答案选A。3.C解析：公差，则∴，则∴，故C正确。4.C解析：因为是关于的二次函数形式，所以为等差数列又因为，所以5.B解析：由递推公式计算得：，所以数列的周期为3。因为，所以6.B解析：，∴故最大自然数是4010。7.C解析：∵、为等差数列，∴也为等差数列，设，则，而，故，∴。8.B解析：由，，相加得即∴∴二.1.解析：（1），累加得∴，则或者用累乘得（2）∵∴而，当时，时也适合∴数列的通项公式为2.解析：（1）依题意有解之，得公差的取值范围为（2）由可知，因此，在中为最大值的条件为且，即∵∴∵∴∵∴，得∵是正整数∴，即在中，最大3.解：设等差数列的公差为，则由题设有，于是由，得，解之得将代入已知条件，，解之得，或，∴，或，当，时，当，时，