【精品】高一数学-3.5等比数列的前n项和(第二课时)-大纲人教版必修VIP专享VIP免费

第二课时●课题§3.5.2等比数列的前n项和(二)●教学目标（一）教学知识点1.等比数列的前n项求和公式：Sn=qqaaqqann11)1(11(q≠1),Sn=na1(q=1).（二）能力训练要求综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.（三）德育渗透目标提高学生分析、解决问题的能力.●教学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.●教学难点灵活使用有关知识解决问题●教学方法讲练相结合讲解思路，寻求规律，使学生通过练习加深理解.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?［生］定义式：1nnaa=q(q≠0,n≥2)通项公式：an=a1qn－1(a1,q≠0)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,Sn=qqaaqqann11)1(11(q≠1)Sn=na1,(q=1)an=Sn－Sn－1(n≥2),a1=S1(n=1)Ⅱ.讲授新课［师］我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.［例1］求和：(x+)1()1()122nnyxyxy(其中x≠0，x≠1，y≠1)分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x≠0，x≠1，y≠1时，(x+)1()122yxy)+…+(xn+ny1)网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1=(x+x2+…+xn)+(211yy+…+ny1)=yyyxxxnn11)11(11)1(=nnnnyyyxxx1111［师］此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.［例2］已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3,S9,S6成等差数列，求证：a2,a8,a5成等差数列.分析：由题意可得S3+S6=2S9，要证a2,a8,a5成等差数列，只要证a2+a5=2a8即可.证明： S3,S9,S6成等差数列，∴S3+S6=2S9若q=1,则S3=3a1，S6=6a1,S9=9a1，由等比数列中，a1≠0得S3+S6≠2S9，与题设矛盾∴q≠1，∴S3=qqaSqqaSqqa1)1(,1)1(,1)1(91961631且qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131整理得q3+q6=2q9，由q≠0得1+q3=2q6又 a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)∴a2+a5=a1q·2q6=2a1q7=2a8,∴a2,a8,a5成等差数列.评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.解：设每年的产量组成一个等比数列{an},其中a1=5,q=1+10%=1.1,Sn=30∴1.11)1.11(5n=30，整理可得：1.1n=1.6两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，即：n=1.1lg6.1lg≈5答：约5年内可以使总产量达到30万吨.评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.Ⅲ.课堂练习［生］(板演)课本P131练习3，4网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网23.求和解：（1）（a－1）+(a2－2)+…+(an－n)=(a+a2+…+an)－(1+2+…+n)当a=1时，原式=n－nnnn21212)1(2当a≠1时，原式=2)1(11nnaaan.(2)(2－3×5-1)+(4－3×5-2)+…+(2n－3×5－n)=(2+4+…+2n)－3×(5-1+5-2+…+5－n)=2)22(nn－3×nnnnnn55353)1(515511)1(1.评述：根据所求式的特点，选取恰当的求和方法，将其转化为等差或等比数列求和问题.4.已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，求证S7,S14－S7,S21－S14成等比数列，设k∈N*,Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等比数列吗？解：（1）①当q=1时，S7=7a1,S14=14a1,S14－S7=14a1－7a1=7a1,S21－S14=21a1－14a1=7a1∴S7,S14－S7,S21－S14为以7a1为首项，1为公比的等比数列.②当q≠1时，S7=qqaSqqaSqqa1)1(,1)1(,1)1(211211411471qqaqqaSS1)1(1)1(71141714=qqqa1)1(771S21－S14=qqaqqa1)1(1)1(141211=qqqa1)1(7141∴(S14－S7)2=2271421)1()1(qqqaS7·(S21－S14)=qqqaqqa1)1(1)1(714171=22714211)1(qqqa∴(S14－S7)2=S7·(S21－S14)∴S7,S14－S7,S21－S14成等比数列.[这一过程也可如下证明：S14－S7=(a1+a2+…a14)－(a1+a2+…+a7)=a8+a9+…+a14=a1q7+a2q...