第二讲三角变换与解三角形研热点（聚焦突破）类型一三角变换及求值1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．2．项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α；α＝(α－β)＋β，β＝－；α可视为的倍角；±α可视为(±2α)的半角等．3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．4．弦、切互化：一般是切化弦．5．公式的变形应用：如sinα＝cosαtanα，sin2α＝，cos2α＝，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)，1±sinα＝(sin±cos)2等．6．角的合成及三角函数名的统一asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，(tanφ＝)．[例1](2012年高考广东卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，]，f(5α＋π)＝－，f(5β－π)＝，求cos(α＋β)的值．[解析](1)由T＝＝10π得ω＝.(2)由得整理得 α，β∈[0，]，∴cosα＝＝，sinβ＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.跟踪训练(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．解析：化2α＋为2(α＋)－是关键． α为锐角且cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝.∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]＝××－[2×()2－1]＝－＝.答案：类型二正、余弦定理的应用11．正弦定理的变式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.2．余弦定理的变式a2＋c2－b2＝2accosB(注意整体变形)．3．面积公式SΔ＝absinC，SΔ＝(R为外接圆半径)；SΔ＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[例2](2012年高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[解析](1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB.所以tanB＝，得B＝.(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac，所以a＝，c＝2.跟踪训练1．(2012年西安模拟)已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则角A的大小为()A．150°B．90°C．60°D．30°解析：根据正弦定理得＝，∴sinA＝. a
