3.1.4概率的加法公式VIP免费

3.1.4概率的加法公式一、互斥事件、事件的并、对立事件1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）;2．事件的并：由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A、B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和）。记作C=A∪B（或C=A+B）。事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合。3．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作.例1.抛掷一颗骰子，观察掷出的点数.设事件A为“出现奇数点”，B为“出现2点”.已知P(A)=，P(B)=，求“出现奇数点或2点”的概率。这里的事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件2116设事件C为““出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和)设事件C为““出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和)如图中阴影部分所表示的就是AB.∪BAAB例2.判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。解：（1）是互斥事件；（2）不可能是互斥事件；（3）不可能是互斥事件；（4）是互斥事件；例3.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由。从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1~10各4张）中，任取1张：（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。解：（1）是互斥事件，不是对立事件；（2）既是互斥事件，又是对立事件；（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件；所以对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件。假定事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。二、互斥事件的概率加法公式证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的频数为n2，则事件A∪B出现的频数正好是n1+n2，所以事件A∪B的频率为1212nnnnnnn如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现的频率，则有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B).由概率的统计定义可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=326121例4.在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解：分别记小明的成绩在90分以上，在80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.对立事件的概率若事件A的对立事件为A，则P(A)=1－P(A).证明：事件A与A是互斥事件，所以P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω，而由必然事件得到P(Ω)=1,故P(A)=1－P(A).在上面的例题中，若令A=“小明考试及格”,则A=“小明考试不及格”如果求小明考试不及格的概率，则由公式得P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.即小明考试不及格的概率...