课时知能训练一、选择题1．(2012·汕尾质检)dx等于()A．－2ln2B．2ln2C．－ln2D．ln2【解析】dx＝lnx＝ln4－ln2＝ln2.【答案】D2．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16【解析】原式＝－6f(x)dx＋f(x)dx，∵原函数为偶函数，即在y轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等．即8×2＝16.【答案】D3．(2011·湖南高考)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B．1C.D.【解析】由定积分的几何意义，曲线围成的面积为S＝∫－cosxdx＝sinx＝sin－sin(－)＝.【答案】D图2－13－34．(2012·潮州模拟)如图2－13－3所示，阴影部分的面积是()A．2B．2－C.D.【解析】设阴影部分面积为S，则S＝－3[(3－x2)－2x]dx＝(3x－－x2)＝.【答案】C5．若a＝sinxdx，b＝cosxdx，则a与b的关系()A．a＜bB．a＞bC．a＝bD．a＋b＝0【解析】∵(－cosx)′＝sinx，(sinx)′＝cosx，∴a＝sinxdx＝－cosx＝－cos2，b＝cosxdx＝sin1.∴b－a＝sin1＋cos2＝－2sin21＋sin1＋1＝－2(sin1－)2，∵0＜sin1＜1，∴b－a＞0，a＜b.【答案】A二、填空题6．定积分dx＝________.【解析】∵y＝表示以(0,0)为圆心，以4为半径的上半圆．∴dx表示圆面积的，即×π×42＝4π.【答案】4π7．已知力F和物体移动方向相同，而且与物体位置x有如下关系：F(x)＝那么力F使物体从x＝－1的点运动到x＝1的点做功大小为________．【解析】－1F(x)dx＝－1|x|dx＋0(x2＋1)dx＝－1(－x)dx＋0(x2＋1)dx＝－＋(＋x)＝(－1)2＋×13＋1＝.【答案】8．(2012·深圳模拟)如图2－13－4，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是________．用心爱心专心1图2－13－4【解析】∵S阴＝2sinxdx＝－2cosx＝4，S圆＝π3∴P(A)＝＝.【答案】三、解答题9．汽车从A处起以速度v(t)＝v0－at(m/s)(其中v0，a均为正的常数)开始减速行驶，至B点停止，求A，B之间的距离．【解】由v0－at＝0，得t＝，则s＝∫0(v0－at)dt＝∫0v0dt－∫0atdt＝v0t0－at20＝－a()2＝.∴A，B之间的距离为.10．已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，试求f(x)dx的值．【解】∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3，∴f(x)dx＝(x3－4x2＋3x)＝－18.11．如图2－13－5所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．图2－13－5【解】抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝(x－x2)dx＝(－x3)＝.又得x2＋x(k－1)＝0.抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，＝∫(x－x2－kx)dx＝(x2－x3)＝(1－k)3.又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.用心爱心专心2
