课时知能训练一、选择题1.(2012·汕尾质检)dx等于()A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2【解析】dx=lnx=ln4-ln2=ln2.【答案】D2.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则-6f(x)dx等于()A.0B.4C.8D.16【解析】原式=-6f(x)dx+f(x)dx,∵原函数为偶函数,即在y轴两侧的图象对称.∴对应的面积相等.即8×2=16.【答案】D3.(2011·湖南高考)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C.D.【解析】由定积分的几何意义,曲线围成的面积为S=∫-cosxdx=sinx=sin-sin(-)=.【答案】D图2-13-34.(2012·潮州模拟)如图2-13-3所示,阴影部分的面积是()A.2B.2-C.D.【解析】设阴影部分面积为S,则S=-3[(3-x2)-2x]dx=(3x--x2)=.【答案】C5.若a=sinxdx,b=cosxdx,则a与b的关系()A.a<bB.a>bC.a=bD.a+b=0【解析】∵(-cosx)′=sinx,(sinx)′=cosx,∴a=sinxdx=-cosx=-cos2,b=cosxdx=sin1.∴b-a=sin1+cos2=-2sin21+sin1+1=-2(sin1-)2,∵0<sin1<1,∴b-a>0,a<b.【答案】A二、填空题6.定积分dx=________.【解析】∵y=表示以(0,0)为圆心,以4为半径的上半圆.∴dx表示圆面积的,即×π×42=4π.【答案】4π7.已知力F和物体移动方向相同,而且与物体位置x有如下关系:F(x)=那么力F使物体从x=-1的点运动到x=1的点做功大小为________.【解析】-1F(x)dx=-1|x|dx+0(x2+1)dx=-1(-x)dx+0(x2+1)dx=-+(+x)=(-1)2+×13+1=.【答案】8.(2012·深圳模拟)如图2-13-4,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是________.用心爱心专心1图2-13-4【解析】∵S阴=2sinxdx=-2cosx=4,S圆=π3∴P(A)==.【答案】三、解答题9.汽车从A处起以速度v(t)=v0-at(m/s)(其中v0,a均为正的常数)开始减速行驶,至B点停止,求A,B之间的距离.【解】由v0-at=0,得t=,则s=∫0(v0-at)dt=∫0v0dt-∫0atdt=v0t0-at20=-a()2=.∴A,B之间的距离为.10.已知f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f′(2)x+3,试求f(x)dx的值.【解】∵f(x)=x2+2f′(2)x+3,∴f′(x)=2x+2f′(2),∴f′(2)=4+2f′(2),∴f′(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+3,∴f(x)dx=(x3-4x2+3x)=-18.11.如图2-13-5所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.图2-13-5【解】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx=(-x3)=.又得x2+x(k-1)=0.抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以,=∫(x-x2-kx)dx=(x2-x3)=(1-k)3.又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.用心爱心专心2