课时知能训练一、选择题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条直线C．两个点D．4条直线【解析】由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得∴或，即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．【答案】C2．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【解析】设椭圆的中心为O，则OM是△PF1F2的中位线，∴|MO|＋|MF1|＝a＞c，∴动点M的轨迹是以点F1，O为焦点的椭圆．【答案】B3．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0【解析】 AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设点C(x，y)由题意可知×5×＝10，∴4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.【答案】B4．(2012·杭州模拟)设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PM＝λMQ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PM＝λMQ得(λ＞0)．∴由于x＋y＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴点M的轨迹是椭圆．【答案】B5．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，用心爱心专心1∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.【答案】D二、填空题6．(2012·汕头模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．【解析】由题意△ABC是以点C为直角顶点的三角形．∴|MC|＝3，故圆心M的轨迹是以点C(1，－1)为圆心，以3为半径的圆，其轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝97．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为________．【解析】依题意，设PM，PN与圆的切点为C，D，则|PM|－|PN|＝(|PC|＋|MC|)－(|PD|＋|DN|)＝|MB|－|NB|＝2，∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线(与x轴的交点除外)的右支，c＝3，a＝1，b2＝8，轨迹方程为x2－＝1(y≠0，x＞0)．【答案】x2－＝1(y≠0，x＞0)8．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．【答案】－＝1(x＞3)三、解答题9．已知直线l：y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．【解】直线l与y轴的交点为N(0,1)，圆心C(2,3)，设M(x，y)， MN与MC所在直线垂直，∴·＝－1，(x≠0且x≠2)，当x＝0时不符合题意，当x＝2时，y＝3符合题意，∴AB中点的轨迹方程为：x2＋y2－2x－4y＋3＝0，＜x＜.图8－5－410．(2011·陕西高考)如图8－5－4，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；用心爱心专心2(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．【解】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得 P在圆上，∴x2＋(y)2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.11．已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点(，0)作直线l，与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．【解】(1)设P点的坐标为(x，y)，依题意得·＝－(x≠±2)，化简并整理得＋＝1(x≠±2)．∴动点P的轨迹C的方程是＋＝...
