专题4相交线与平行线题型归类过关训练题型归类题型一对顶角的概念及其计算[2016·涞水期末]如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝50°.(1)求∠AOC的度数；(2)求∠EOF的度数．解：(1) ∠BOE＝50°，∠COE＝90°，又 AOC＋∠COE＋∠BOE＝180°，∴∠AOC＝180°－50°－90°＝40°.(2) ∠DOE＝∠COE＝90°，∴∠BOD＝90°－50°＝40°. OD平分∠BOF，∴∠BOD＝∠DOF＝40°，∴∠EOF＝50°＋40°＋40°＝130°.【点悟】当题目中出现两条直线相交时，就要考虑对顶角相等或邻补角互补的性质．利用相交直线寻找对顶角，利用对顶角转化相等的角，这是今后几何计算常用的解题方法．【变式跟进】1．[2016·曲阜期末]如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE＝62°，求∠AOB的度数．解： ∠DOE与∠COE互余，∴∠DOE＋∠COE＝90°.又 ∠COE＝62°，∴∠DOE＝28°.由对顶角的性质，得∠AOB＝∠EOD＝28°.2．[2016·淮安期末]如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝74°，∠DOF＝90°.求：(1)∠BOC的度数；(2)∠BOE的度数；(3)∠EOF的度数．解：(1) ∠AOC＝74°，∴∠BOC＝180°－74°＝106°.(2) ∠BOD＝∠AOC＝74°，OE平分∠BOD，∴∠BOE＝12∠BOD＝37°.(3) ∠BOF＝∠DOF－∠BOD＝90°－74°＝16°，∴∠EOF＝∠BOE＋∠BOF＝37°＋16°＝53°.题型二平行线的性质[2017·重庆]如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．解： AB∥CD，∠AEC＝42°，∴∠A＝∠AEC＝42°，∴∠A＋∠AED＝180°，∴∠AED＝180°－42°＝138°. EF平分∠AED，∴∠FED＝12∠AED＝69°.又 AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED＝69°.【变式跟进】3．[2018·菏泽]如图，直线a∥b，等腰直角三角形的两个顶点分别落在直线a、b上，若∠1＝30°，则∠2的度数是()A.45°B.30°C.15°D.10°C4．[2016·揭西期末]如图，AB∥CD，∠B＝120°，EF是∠CEB的平分线，FG∥HD，求∠EDH的度数．解： AB∥CD，∴∠BEC＋∠B＝180°，∴∠BEC＝180°－∠B＝180°－120°＝60°. EF平分∠BEC，∴∠CEF＝12∠BEC＝12×60°＝30°. ∠DEG＝∠CEF＝30°，FG∥HD，∴∠EDH＝∠DEG＝30°.题型三平行线的判定[2016·内江期末]如图，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF.(1)AE与FC平行吗？说明理由；(2)AD与BC的位置关系如何？为什么？(3)BC平分∠DBE吗？为什么？解：(1)AE∥FC.理由如下： ∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠CDB＝180°(邻补角定义)，∴∠1＝∠CDB，∴AE∥FC(同位角相等，两直线平行)．(2)AD∥BC.理由如下： AE∥CF，∴∠C＝∠CBE(两直线平行，内错角相等)．又 ∠A＝∠C，∴∠A＝∠CBE，∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．5．[2016·昌平区期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：DE∥AC.证明： AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，∴∠1＝∠ADE. ∠1＝∠2，∴∠2＝∠ADE，∴DE∥AC.(3)BC平分∠DBE.理由如下： DA平分∠BDF，∴∠FDA＝∠ADB. AE∥CF，AD∥BC，∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，∴∠EBC＝∠CBD，∴BC平分∠DBE.【点悟】判定两直线平行的方法有五种：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行．6．[2016·黄埔区期末]如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠AOE＝∠BAE，∠FOP＝∠CPF.(1)若∠BAE＝55°，求∠CPF的度数；(2)求证：AE∥FP.解：(1) ∠AOE＝∠BAE，∠FOP＝∠CPF，又 ∠AOE＝∠FOP(对顶角相等)，∴∠BAE＝∠CPF. ∠BAE＝55°，∴∠CPF＝55°.(2)证明： ∠BAP＋∠APD＝180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，∴∠BAP＝∠APC(两直线平行，内错角相等)． ∠BAE＝∠CPF，∴∠EAO＝∠FPO，∴AE∥FP.题型四平行线的探究型问题[2017·莱城区期末](1)如图①，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝____；如图②，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝____；(2)如图③，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝____；图①图②图③图④180°360°540°(3)利用上述结论解决问题：如图...
