重组四大题冲关——导数的综合应用问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·吉林实验中学模拟](本小题满分15分)已知函数f(x)＝mx＋lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数．(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求m的值．解(1)当m＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，定义域为(0，＋∞)．求导得f′(x)＝－1＋，(2分)令f′(x)＝0，得x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：(5分)由表可知f(x)的最大值为f(1)＝－1.(7分)(2)求导得f′(x)＝m＋.①当m≥0时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，e]上单调递增，最大值为f(e)＝me＋1＝－3，解得m＝－，不符合要求；(9分)②当m<0时，令f′(x)＝0，得x＝－，若－≥e，此时f′(x)≥0在(0，e]上恒成立，此时f(x)在(0，e]上单调递增，最大值为f(e)＝me＋1＝－3，解得m＝－，不符合要求；(12分)若－
0在上成立，f′(x)<0在上成立，此时f(x)在(0，e]上先增后减，最大值为f＝－1＋ln＝－3，解得m＝－e2，符合要求．(14分)综上可知，m的值为－e2.(15分)2．[2016·天津十二区联考](本小题满分15分)已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝ax＋b.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若直线g(x)＝ax＋b是函数f(x)＝lnx－图象的切线，求a＋b的最小值．解(1)h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－－ax－b，则h′(x)＝＋－a，(2分) h(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴对∀x>0，都有h′(x)＝＋－a≥0，(3分)即对∀x>0，都有a≤＋，(5分) ＋>0，∴a≤0，故实数a的取值范围是(－∞，0]．(7分)(2)设切点，则切线方程为y－＝(x－x0)，即y＝x－x0＋，亦即y＝x＋，(10分)令＝t>0，由题意得a＝＋＝t＋t2，b＝lnx0－－1＝－lnt－2t－1，令a＋b＝φ(t)＝－lnt＋t2－t－1，则φ′(t)＝－＋2t－1＝，当t∈(0,1)时，φ′(t)<0，φ(t)在(0,1)上单调递减；当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)>0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，∴a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b的最小值为－1.(15分)3．[2017·湖北四校联考](本小题满分20分)已知函数f(x)＝xlnx－ax2－x.(1)当a＝时，证明：f(x)在定义域上为减函数；(2)若a∈R，讨论函数f(x)的零点情况．解(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－x－1＝lnx－x，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1＝，(3分)当00；当x>1时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(1)＝－1，(6分)即g(x)＝lnx－x<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在定义域上为减函数．(8分)(2)f(x)＝xlnx－ax2－x的零点情况，即方程xlnx－ax2－x＝0的根的情况，因为x>0，所以方程可化为a＝，(10分)令h(x)＝，则h′(x)＝＝，(12分)令h′(x)＝0，可得x＝e2，(13分)当00，当x>e2时，h′(x)<0，所以h(x)max＝h(e2)＝，且当x→0时，h(x)→－∞；当x>e2时，h(x)>0，所以h(x)＝的大致图象如图所示，(15分)结合图象可知，当a>时，方程a＝没有根；当a＝或a≤0时，方程a＝有一个根；当0时，函数f(x)无零点；当a＝或a≤0时，函数f(x)有一个零点；当00，得x>1，F(x)递增，令F′(x)<0，得00，∴x＋lnx>ax2＋x，∴g(x)＝x＋lnx，(11分)若g(x)0，得12，h(x)递减，∴h(x)max...
