课时作业(十八)空间向量的数量积运算A组基础巩固1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．0解析：①，②均正确；③不正确，因为AD1与A1B夹角为120°.答案：B2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B.a2C.a2D.a2解析：AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2.答案：C3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD解析：可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，PA·CD＝0，排除D.又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以DA·PB＝0，同理PD·AB＝0，排除B，C，故选A.答案：A4．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2＞0，同理，可证CB·CD＞0，DB·DC＞0.所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形．答案：B5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有()A.AB·A1C1＝2a2B.AB·AC1＝a2C.AB·AO＝a2D.BC·DA1＝a2解析： AB·AO＝AB·AC1＝AB·(AB＋AD＋AA1)＝(AB2＋AB·AD＋AB·AA1)＝AB2＝|AB|2＝a2.答案：C6．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()A.B.C．－D．0解析：如图所示， OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|·cos∠AOC－|OA|·|OB|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC，∴〈OA，BC〉＝，cos〈OA，BC〉＝0.答案：D7．设向量a与b互相垂直，向理c与它们构成的角是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝__________.解析：(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.答案：－628．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|＝________.1解析：由于AC1＝AB＋AD＋AA1，∴|AC1|2＝(AB＋AD＋AA1)2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA1|2＋2(AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1)＝12＋22＋32＋2＝25，故|AC1|＝5.答案：59．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．解析：AB＝AC＋CD＋DB，∴CD·AB＝CD·(AC＋CD＋DB)＝|CD|2＝1，∴cos〈CD，AB〉＝＝，∴异面直线a，b所成角是60°.答案：60°B组能力提升10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围()A．[0,1]B．[1,2]C．[0,3]D．[1,3]解析：p2＝2＝3＋2≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.答案：C11．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则OG·(OA＋OB＋OC)＝________.解析：由已知OA·OB＝OA·OC＝OB·OC＝0，且OG＝，故OG·(OA＋OB＋OC)＝(OA＋OB＋OC)2＝(|OA|2＋|OB|2＋|OC|2)＝(1＋4＋9)＝.答案：12．如图，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求〈DM，AO〉．解：(1)证明：设VA＝a，VB＝b，VC＝c，正四面体的棱长为1，则VD＝(a＋b＋c)，AO＝(b＋c－5a)，BO＝(a＋c－5b)，CO＝(a＋b－5c)，所以AO·BO＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos60°－9)＝0，所以AO⊥BO，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO两两垂直．(2)解：DM＝DV＋VM＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，所以|DM|＝＝.又|AO|＝＝，DM·AO＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，所以cos〈DM，AO〉＝＝.又〈DM，AO〉∈[0，π]，所以〈DM，AO〉＝.13．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．解：2(1)证明：AB1＝AB＋BB1，BC1＝BB1＋BC. BB1⊥平面ABC，∴BB1·AB＝0，BB1·BC＝0.又△ABC为正三角形，∴〈AB，BC〉＝π－〈BA，BC〉＝π－＝. AB1·BC1＝(AB＋BB1)·(BB1＋BC)＝AB·BB1＋AB·BC＋BB12＋BB1·BC＝|AB|·|B...
