§8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.函数y=2sin+1的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析函数y=2sin+1的最大值为2+1=3.答案C2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f=()A.-B.C.D.-解析由=π,得ω=2,此时f(x)=sin.∴f=sin.答案B3.函数y=3sin的一个单调递减区间为()A.B.C.D.解析y=3sin=-3sin,当x∈时,x-,此时y=sin在区间上是增加的,从而y=-3sin在区间上是减少的,即单调递减区间是.答案B4.在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(x∈[0,2π])的图像和直线y=的交点个数是()A.0B.1C.2D.4解析作出函数y=cosπ,x∈[0,2π]的图像及y=的图像可得,应选C.答案C5.已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-C.ω=2,φ=D.ω=2,φ=-解析 T=4×=π,∴ω==2,由五点作图法知2×+φ=,φ=-.答案D6.如图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将y=sinx(x∈R)的图像上所有点()A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变解析由图像可知函数的周期为π,振幅为1,所以函数的解析式可设为y=sin(2x+φ).代入可得φ的一个值为,故图像中函数的一个解析式是y=sin,所以只需将y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.答案A7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是()A.y=4sin4x+B.y=2sin2x++2C.y=2sin4x++2D.y=2sin4x++2解析由题意可得,A==2,m==2,ω==4,∴φ=kπ+,∴当k=1时,φ=,∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.答案D8.将函数y=sin的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为和.解析依据图像变换得函数g(x)=sin. x∈,∴4x+,∴当4x+时,g(x)取最大值;当4x+时,g(x)取最小值-.答案-9.设函数f(x)=4sin,若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值是.解析由正弦曲线的图像可知,f(x1),f(x2)分别是函数f(x)=4sin的最小值、最大值,|x1-x2|的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的个周期,故|x1-x2|的最小值=T==2.答案210.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的一部分如图所示,求函数f(x)的解析式.解由图像可知,A=2,T=8. T=8,∴ω=.∴f(x)=2sin.方法一:由图像过点(1,2)得,2sin=2,∴sin=1.∴+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z). |φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.方法二: 点(1,2)对应“五点”中的第二个点,∴×1+φ=,∴φ=,∴f(x)=2sin.11.已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的最大值、最小值,及相应x的值;(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心;(3)函数f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度才为偶函数?解(1)当2x++2kπ(k∈Z)时,f(x)有最大值,即当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)max=.当2x+=-+2kπ(k∈Z)时,f(x)有最小值,即当x=kπ-(k∈Z)时,f(x)min=.(2)由T=知函数f(x)的最小正周期为T=π.令2x+=kπ+(k∈Z),则x=(k∈Z),∴对称轴为直线x=(k∈Z).令2x+=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),∴对称中心为(k∈Z).(3)由函数性质知若函数y=Asin(ωx+φ)+b为偶函数,φ>0,则φ至少为,即y=sincos2x+为偶函数.∴应将函数y=sin的图像平移至函数y=sin的图像处.由函数图像平移方法知:y=sin的图像y=sin的图像,∴函数f(x)的图像至少向左平移个单位长度才为偶函数.B组能力提升1.将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,则y=g(x)图像的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=解析将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得函数y=3sin的图像,再向右平移个单位长度,可得y=3sin=3sin的图像,故g(x)=3sin.令2x-=kπ+,k∈Z,得到x=·π+,k∈Z.则得y=g(x)图像的一条对称轴是x=.故选C.答案C2.导学号93774030设ω>0,函数y=sin+2的图像向右平移个单位...
